Question

Найти точку M0 пересечения прямой, проходящей через точки M1 = (4, 3, 0), M2 = (1, 2, 5), и плоскости 7x + 3y + 5z-5 = 0

Answer 1

$M_1(4,3,0)\; ,\; \; M_2(1,2,5)\\\\\pi :\; \; 7x+3y+5z-5=0\\\\M_1M_2:\; \; \frac{x-4}{-3}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{5}\; \; \Rightarrow \; \; \frac{x-4}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{-5}\; \; \Rightarrow \\\\M_1M_2:\; \; \left\{\begin{array}{c}x=3t+4\\y=t+3\\z=-5t\end{array}\right \\\\\\M_1M_2\cap \pi =M_0\\\\7(3t+4)+3(t+3)+5(-5t)-5=0\\\\21t+28+3t+9-25t-5=0\\\\32-t=0\; ,\; \; \underline {t=32}\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x=3\cdot 32+4=100\\y=32+3=35\\z=-5\cdot 32=-160\end{array}\right \; \; \Rightarrow \; \; M_0(100,35,-160)$

Answer 2

Для того чтобы найти точку M0 пересечения прямой и плоскости, нужно выполнить два шага:

Шаг 1: Найти уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2. Шаг 2: Найти точку пересечения этой прямой с плоскостью.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки M1 = (4, 3, 0) и M2 = (1, 2, 5).

Для этого вычислим направляющий вектор прямой, который можно получить вычитанием координат M1 из координат M2:

Направляющий вектор прямой d = M2 - M1 = (1 - 4, 2 - 3, 5 - 0) = (-3, -1, 5).

Теперь нам нужно записать уравнение прямой в параметрической форме:

x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct.

Где (x0, y0, z0) - координаты точки на прямой, а (a, b, c) - направляющий вектор прямой.

Выберем точку M1 = (4, 3, 0) как начальную точку, тогда у нас получится следующее уравнение:

x = 4 - 3t, y = 3 - t, z = 5t.

Шаг 2: Теперь найдем точку M0 пересечения этой прямой с плоскостью 7x + 3y + 5z - 5 = 0.

Для этого подставим уравнение прямой в уравнение плоскости и найдем t:

7(4 - 3t) + 3(3 - t) + 5(5t) - 5 = 0.

Упростим уравнение:

28 - 21t + 9 - 3t + 25t - 5 = 0, 25t = -28 - 9 + 5 - 3, 25t = -35, t = -35 / 25, t = -1.4.

Теперь найдем координаты точки M0:

x = 4 - 3(-1.4) = 8.2, y = 3 - (-1.4) = 4.4, z = 5(-1.4) = -7.

Таким образом, точка M0 пересечения прямой и плоскости равна M0(8.2, 4.4, -7).