Question

Помогите решить 7sin^2x+6sinx cosx=cos^2x​

Answer 1

Ответ:

x1 = 3π/4 + π*k, k ∈ Z: x2 = arctg (1/7) + π*n, n ∈ Z

Пошаговое объяснение:

7sin^2 x + 6sin x*cos x - cos^2 x = 0

делим всё на cos^2 x

7tg^2 x + 6tg x - 1 = 0

(tg x + 1)(7tg x - 1) = 0

tg x = -1; x1 = 3π/4 + π*k, k ∈ Z

tg x = 1/7; x2 = arctg (1/7) + π*n, n ∈ Z

Answer 2

Для решения данного уравнения относительно переменной x, воспользуемся методом замены тригонометрических выражений в квадратичных уравнениях.

Предположим, что у нас есть уравнение вида: asin^2(x) + bsin(x)cos(x) = ccos^2(x)

Первым шагом заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x), так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

asin^2(x) + bsin(x)cos(x) = c(1 - sin^2(x))

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

(a + c)sin^2(x) + bsin(x)*cos(x) = c

Далее, заменим sin(x)cos(x) на 1/2sin(2x):

(a + c)*sin^2(x) + (b/2)*sin(2x) = c

Теперь введем новую переменную u = sin(x), тогда уравнение примет вид:

(a + c)*u^2 + (b/2)*u = c

Теперь это квадратное уравнение относительно u. Приведем его к стандартному виду:

(a + c)*u^2 + (b/2)*u - c = 0

Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать дискриминант, который определяется как D = b^2 - 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Дискриминант для нашего уравнения:

D = (b/2)^2 - 4*(a + c)*(-c) = b^2/4 + 4ac + 4c^2

Теперь найдем корни уравнения u:

u = (-b/2 ± √D) / (2*(a + c))

Теперь подставим значение u в исходное выражение u = sin(x):

sin(x) = (-b/2 ± √D) / (2*(a + c))

Таким образом, получаем два уравнения для x:

1. sin(x) = (-b/2 + √D) / (2*(a + c))
2. sin(x) = (-b/2 - √D) / (2*(a + c))

Решим каждое уравнение относительно x.

Заметим, что при решении уравнений, значение (-b/2 ± √D) может быть больше 1 или меньше -1. Однако синус угла ограничен значениями от -1 до 1. Поэтому, если (-b/2 ± √D) находится за пределами этого интервала, уравнение не имеет действительных решений.

Если же (-b/2 ± √D) лежит в интервале [-1, 1], мы можем найти арксинус (обратная функция синуса) от обоих частей уравнения, чтобы найти значения x:

1. x = arcsin((-b/2 + √D) / (2*(a + c)))
2. x = arcsin((-b/2 - √D) / (2*(a + c)))

Помните, что в общем случае могут быть несколько решений для x.