Question

В трапеции АBCD точки М и N - середины оснований BС и АD соответственно. Докажите, что площади трапеций ABMN и DCMN равны. Желательно подробное решение. Заранее спасибо!)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

см в файле

Answer 2

Для доказательства того, что площади трапеций ABMN и DCMN равны, мы будем использовать свойства параллелограммов и площадей фигур.

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции ABCD как точку O. Поскольку М и N - середины оснований BС и АD соответственно, отрезок MO является половиной основания BC, и отрезок NO является половиной основания AD.

Далее, воспользуемся свойством параллелограмма: в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Из этого следует, что BC || AD и AB || DC.

Теперь мы можем рассмотреть трапеции ABMN и DCMN отдельно:

1. Трапеция ABMN: Мы знаем, что BC || AD и MN - это средняя линия трапеции ABCD. Значит, MN || BC || AD. По свойству параллелограмма, MN также делит AD пополам.

Теперь рассмотрим три треугольника: ΔMON, ΔMOB и ΔNOA.

Так как М и N - середины сторон трапеции ABCD, то МО и NO - это половины соответствующих сторон треугольников ΔMOB и ΔNOA.

Таким образом, площадь ΔMOB = площадь ΔNOA = (1/2) * площадь ΔABC (потому что М и N - середины сторон BC и AD).

Теперь обратим внимание на ΔMON. Поскольку МО и NO - это половины соответствующих сторон ΔMOB и ΔNOA, то площадь ΔMON = (1/2) * площадь ΔMOB + (1/2) * площадь ΔNOA = (1/2) * площадь ΔABC + (1/2) * площадь ΔABC = площадь ΔABC.

Таким образом, площадь трапеции ABMN равна площади треугольника ΔMON, то есть площади ΔABC.

2. Трапеция DCMN: Аналогичным образом, можно доказать, что площадь трапеции DCMN также равна площади ΔABC.

Таким образом, мы показали, что площади трапеций ABMN и DCMN равны, так как обе равны площади треугольника ΔABC.