Question

Пряма, паралельна стороні АB трикутника ABC, перетинає його сторону AC у точці Е, а сторону BC - у точці F.Знайдіть площу трикутника CEF, якщо AE:EС=3:2, а площа трикутника ABC дорівнює 75 см.

Answer 1

Ответ:

12 см²

Пошаговое объяснение:

т.к. EF || AB, то соответственные углы равны

∠ CAB = ∠ CEF и ∠CBA = ∠CFE

угол C - общий в треугольниках ABC и EFC

по трем углам треугольники подобны

коэффициент подобия: k = (3+2)/2 = 2,5

S(ABC) : S(EFC) = k² = 6,25

S(EFC) = S(ABC) : 6,25 = 75 : 6,25 = 12 (см²)

Answer 2

Позначимо довжини сторін трикутника ABC: AB = c, BC = a, AC = b.

З опису задачі знаємо, що пряма EF паралельна стороні AB, тому трикутники CEF і ABC є подібними за спільною стороною EF і стороною BC.

З подібності трикутників CEF і ABC випливає, що співвідношення довжин відповідних сторін дорівнює співвідношенню довжин спільних сторін:

CE / AC = EF / AB

Замінимо відомі значення:

AE / EC = 3 / 2

Знаємо, що AE + EC = AC:

3x + 2x = 5x = AC

Тепер зазначимо площі трикутників ABC і CEF:

Позначимо площу трикутника ABC як S_ABC і площу трикутника CEF як S_CEF.

Відношення площ трикутників дорівнює квадрату відповідних співвідношень довжин сторін.

S_CEF / S_ABC = (EF / AB)²

Замінимо відомі значення:

S_CEF / 75 см² = (EC / AC)²

S_CEF / 75 см² = (2x / 5x)²

S_CEF / 75 см² = (2 / 5)²

S_CEF / 75 см² = 4 / 25

Тепер знайдемо площу трикутника CEF:

S_CEF = (4 / 25) * 75 см²

S_CEF = 300 / 25 см²

S_CEF = 12 см²

Отже, площа трикутника CEF дорівнює 12 квадратним сантиметрам.