Question

Знайти площу фігури, обмеженої заданими лініями: y = 4 sin x , y = 4cos x , x = 0 .

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: Y1 = 4*sinX,  Y2 = 4*cosX.

Найти: Площадь фигуры.

Решение.

Площадь фигуры - интеграл разности функции.

Рисунок к задаче в приложении.

Находим пределы интегрирования. Точки пересечения графиков.

4*sinX  =  4*cosX.

a = π/4 = 45° - нижний предел

b = 3/4*π = 225° - верхний предел.

Находим интеграл разности функций.

$S=\int\limits^b_a {(4*sinx-4*cosx)} \,dx=-4*cosX-4*sinX$

Вычисляем подставляя пределы интегрирования.

S(b) = S(3/4*π) = 0

S(a) = S(π/4) = - 4√2

S = S(b) - S(a) = 4√2 - площадь - ответ.

Дополнительно.

Про Х=0 не очень понятно. Возможно что это половина площади фигуры.

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої заданими лініями, спочатку ми повинні з'ясувати точки перетину цих ліній. Потім, знаходячи відповідний інтервал для значень x, ми можемо обчислити площу обмеженої фігури.

1. Знайдемо точки перетину ліній y = 4sin(x) та y = 4cos(x): Прирівняємо вирази: 4sin(x) = 4cos(x). Поділимо обидві сторони на 4: sin(x) = cos(x).

Таким чином, точки перетину мають місце, коли sin(x) = cos(x).

2. Знайдемо значення x для яких sin(x) = cos(x): sin(x) = cos(x) можливо, коли x = π/4 або x = 5π/4. (Зауважте, що ми можемо також додати будь-кратне 2π до цих значень x, але для обмеження фігури ми розглянемо інтервал x=[0, π/2], оскільки інший інтервал виходить за межі заданого діапазону x = 0).

3. Обчислити площу: Площа фігури буде сумою площ трикутника та сектора кола.

а) Площа трикутника: Трикутник утворений точками (0, 0), (0, 4sin(π/4)), (0, 4cos(π/4)). Висота трикутника: 4sin(π/4) = 4/√2. Основа трикутника: 4cos(π/4) = 4/√2.

Площа трикутника = (1/2) * base * height = (1/2) * (4/√2) * (4/√2) = 4/2 = 2.

б) Площа сектора кола: Сектор кола має радіус 4 (який є фіксованим) та кут 45° (π/4 радіан). Площа сектора кола = (1/2) * r^2 * θ = (1/2) * 4^2 * π/4 = 4π/2 = 2π.

4. Знаходження загальної площі: Площа фігури, обмеженої лініями y = 4sin(x), y = 4cos(x), та x = 0, є сумою площі трикутника та площі сектора кола.

Загальна площа = 2 + 2π ≈ 8.28 (заокруглимо до двох десяткових знаків).