Question

Пожалуйста помогите:) Lim X^2+2x-8/8-x^3 X->2

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x\to2}{x^2+2x-8\over8-x^3}=\lim_{x\to2}{(x-2)(x+4)\over(2-x)(4+2x+x^2)}=-\lim_{x\to2}{(x-2)(x+4)\over(x-2)(4+2x+x^2)}=-\lim_{x\to2}{x+4\over4+2x+x^2}=-{6\over4+4+4}=-{1\over2}$

Answer 2

Конечно, я помогу! Чтобы найти предел функции при $x \to 2$, следует подставить $x = 2$ в выражение $\frac{x^2 + 2x - 8}{8 - x^3}$.

Начнем с подстановки:

$\lim_{{x \to 2}} \frac{x^2 + 2x - 8}{8 - x^3}$

При $x = 2$, знаменатель станет равен нулю, что приведет к неопределенности вида $\frac{0}{0}$. Чтобы решить эту неопределенность, можно использовать факторизацию или правило Лопиталя.

Давайте попробуем факторизовать числитель и знаменатель. Начнем с числителя:

$x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$

А теперь знаменатель:

$8 - x^3 = 8 - (x^3 - 8) = 8 - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Теперь можно переписать исходное выражение:

$\lim_{{x \to 2}} \frac{x^2 + 2x - 8}{8 - x^3} = \lim_{{x \to 2}} \frac{(x + 4)(x - 2)}{8 - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$

Теперь, когда $x \to 2$, все выражения в знаменателе и числителе не обращаются в ноль. Подставим $x = 2$:

$\frac{(2 + 4)(2 - 2)}{8 - (2 - 2)(2^2 + 2\cdot 2 + 4)} = \frac{6 \cdot 0}{8 - 0} = 0$

Таким образом, предел функции $\frac{x^2 + 2x - 8}{8 - x^3}$ при $x \to 2$ равен $0$.