Question

Найдите объем шара,вписанного в конус объемом 36,если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником.

Answer 1

Рассмотрим осевое сечение конуса. ΔABC - равносторонний. А - вершина конуса, BC - диаметр основания конуса. В треугольник вписан круг, это осевое сечение шара.  

Пусть AH⊥BC и H∈BC. Тогда AH - высота и медина, правильного ΔABC. Поэтому H - центр основания конуса (BH=HC, середина диаметра). Значит, AH - высота конуса.

Рассмотри ΔAHC: ∠H=90°; ∠C=60°, как угол правильного треугольника; ctg C = HC/AH ⇒ HC=AH·ctg60° = AH/√3. HC - радиус конуса.

V(кон.) = $\dfrac13$ h·S(осн.) = $\dfrac13$ AH·π·HC² = $\dfrac{\pi}9 AH^3$

Радиус вписанного в правильный треугольник круга, равен трети от высоты. OH=AH/3. OH - радиус шара.

V(шара) =  $\dfrac43$ π·R³ = $\dfrac43$ π·OH³ = $\dfrac{4\pi}{81} AH^3$

V(шара) = $\dfrac49$ V(кон.) = $\dfrac{4}9 \cdot 36$ = 4² = 16

Ответ: 16.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема конуса и формулой для объема шара, вписанного в конус.

Объем конуса вычисляется по формуле:

V_конуса = (1/3) * π * r^2 * h,

где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Так как осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, то у него все стороны равны и углы между ними равны 60 градусов. Пусть a - длина стороны треугольника (равностороннего треугольника).

Тогда радиус основания конуса r равен половине длины стороны треугольника a:

r = a/2.

Также у равностороннего треугольника высота h, проведенная из вершины к основанию, является медианой, биссектрисой и высотой одновременно. Длина медианы равностороннего треугольника равна (2/3) * h. Медиана проходит через центр вписанного шара и делит ее пополам.

Теперь у нас есть связь между высотой конуса h и длиной стороны a равностороннего треугольника:

(2/3) * h = a.

Теперь мы можем выразить высоту конуса h через длину стороны a:

h = (3/2) * a.

Теперь подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса:

V_конуса = (1/3) * π * (a/2)^2 * (3/2) * a = (1/3) * π * (a^2) * (3/4) * a = (1/4) * π * a^3.

Мы знаем, что объем конуса равен 36, поэтому:

36 = (1/4) * π * a^3.

Теперь найдем длину стороны a:

a^3 = (36 * 4) / π a^3 = 144 / π a = (144 / π)^(1/3).

Теперь, чтобы найти радиус основания конуса r, делим длину стороны a на 2:

r = a/2 = (1/2) * (144 / π)^(1/3).

Наконец, найдем объем вписанного шара, используя формулу для объема шара:

V_шара = (4/3) * π * r^3 = (4/3) * π * ((1/2) * (144 / π)^(1/3))^3 = (4/3) * π * (1/8) * (144 / π) = 18.

Таким образом, объем шара, вписанного в конус объемом 36, равен 18.