Question

Найдите экстремумы, интервалы возрастания и убывания функции y=x³-12x и постройте её график

Answer 1

Дана функция y = x³ - 12x.

Её производная равна y' = 3х² -12.

Приравняем нулю 3х² -12 = 3(х² - 4) = 0.

Отсюда определяем 2 критические точки: х = 2 и х = -2.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =      -3         -2          0           2           3

y' =     15         0        -12           0      15

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

• Минимум функции в точке: х = 2,

• Максимум функции в точке: х = -2.

• Возрастает на промежутках: (-∞; -2) U (2; +∞).

• Убывает на промежутке: : (-2; 2).

Answer 2

Для нахождения экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции y = x³ - 12x, мы сначала найдем производную функции, а затем проанализируем её поведение.

Производная функции y = x³ - 12x:

y' = 3x² - 12.

Чтобы найти экстремумы, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x² - 12 = 0.

Решим это уравнение:

3x² = 12, x² = 4, x = ±2.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = -2 и x = 2.

Теперь рассмотрим интервалы возрастания и убывания, анализируя производную.

1. Для x < -2: Подставим x = -3 в производную: y' = 3(-3)² - 12 = 27 - 12 = 15 (положительное значение). Значит, на интервале x < -2 функция возрастает.

2. Для -2 < x < 2: Подставим x = 0 в производную: y' = 3(0)² - 12 = -12 (отрицательное значение). Значит, на интервале -2 < x < 2 функция убывает.

3. Для x > 2: Подставим x = 3 в производную: y' = 3(3)² - 12 = 27 - 12 = 15 (положительное значение). Значит, на интервале x > 2 функция возрастает.

Теперь построим график функции y = x³ - 12x:

luaCopy code
   |           
   |           
   |       *
   |     *   
   |   *   
   | *    
   ----------------
            x

На графике звездочками (*) отмечены экстремумы функции в точках (-2, 16) и (2, -16).

Надеюсь, эта информация полезна!