Question

Укажите промежуток, которому принадлежит сумма корней уравнения 8^x^2 * 3^4x+2 = 27^x^2 * 2^4x+2

Answer 1

Ответ:

сумма корней х1 + х2 принадлежит промежутку [1;2]

Answer 2

Для определения промежутка, на котором лежит сумма корней уравнения, нужно рассмотреть правую и левую части уравнения отдельно. Давайте преобразуем уравнение и найдем сумму корней:

Уравнение: $8^{x^2} \cdot 3^{4x+2} = 27^{x^2} \cdot 2^{4x+2}$.

Для начала заметим, что $27 = 3^3$, поэтому можно переписать правую часть следующим образом:

$27^{x^2} \cdot 2^{4x+2} = (3^3)^{x^2} \cdot 2^{4x+2} = 3^{3x^2} \cdot 2^{4x+2}$.

Теперь уравнение принимает вид:

$8^{x^2} \cdot 3^{4x+2} = 3^{3x^2} \cdot 2^{4x+2}$.

Для сравнения степеней искомых корней перепишем 8 и 2 в виде степеней 2:

$8 = 2^3$, $2 = 2^1$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(2^3)^{x^2} \cdot 3^{4x+2} = 3^{3x^2} \cdot (2^1)^{4x+2}$.

Применим свойство степени степени:

$2^{3x^2} \cdot 3^{4x+2} = 3^{3x^2} \cdot 2^{4x+2}$.

Теперь заметим, что у нас есть общий множитель $3^{4x+2}$, который можно сократить с обеих сторон уравнения:

$2^{3x^2} = 2^{4x+2}$.

Теперь, чтобы сравнить степени, избавимся от базы 2 и применим логарифмы:

$3x^2 = 4x+2$.

Теперь приведем все к одному виду:

$3x^2 - 4x - 2 = 0$.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулой для нахождения корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Для уравнения $3x^2 - 4x - 2 = 0$ значения $a = 3$, $b = -4$ и $c = -2$.

Теперь вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40$.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных вещественных корня.

Теперь найдем корни:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$,

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{6}$.

Теперь, чтобы найти сумму корней, сложим их:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{40}}{6}$,

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{40}}{6}$,

Сумма корней:

$x_1 + x_2 = \frac{4 + \sqrt{40}}{6} + \frac{4 - \sqrt{40}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$