Question

Верно ли, что два равенства a-b^3=b-c^3=c-a^3 одновременно выполняються только при a=b=c

Answer 1

Предположим обратное. Пусть тогда a>b≥c;

Тогда b=a-b³+c³ и b=c+c³-a³ ⇔ a-b³+c³=c+c³-a³ ⇔ a-b³=c-a³<a-a³ ⇒ -b³<-a³ ⇔ -b<-a ⇔ b>a, противоречие. Значит среди чисел a,b,c нет наибольшего, следовательно a=b=c

Answer 2

Да, верно, что два равенства a - b^3 = b - c^3 = c - a^3 выполняются одновременно только при a = b = c.

Для доказательства этого факта рассмотрим первое равенство: a - b^3 = b - c^3. Мы также можем записать его в виде a - b^3 - b + c^3 = 0. Затем объединим слагаемые и перенесем все на одну сторону уравнения:

a - b^3 - b + c^3 = 0 a - b - b^3 + c^3 = 0 a - b - (b^3 - c^3) = 0

Теперь воспользуемся разностью кубов, которая имеет вид (x^3 - y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2):

a - b - (b - c)(b^2 + bc + c^2) = 0 a - b - (b - c)(b^2 + bc + c^2) = 0

После этого заметим, что у нас есть еще одно равенство c - a^3 = 0, которое также можно переписать в виде c - a - (a^3 - c^3) = 0, и используя разность кубов, получим:

c - a - (a - c)(a^2 + ac + c^2) = 0 c - a - (a - c)(a^2 + ac + c^2) = 0

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. a - b - (b - c)(b^2 + bc + c^2) = 0
2. c - a - (a - c)(a^2 + ac + c^2) = 0

Для того чтобы обе части системы равнялись нулю, оба множителя должны быть равны нулю:

1. a - b = 0
2. a - c = 0

Отсюда следует, что a = b = c. Таким образом, равенства выполняются только при a = b = c.