Question

Решите уравнение 6sin²x-5cos x-5=0подробно плиз ​

Answer 1

$6\sin^2x-5\cos x-5=0\\6\cdot\left(1-\cos^2x\right)-5\cos x-5=0\\6-6\cos^2x-5\cos x-5=0\\-6\cos^2x-5\cos x+1=0\\6\cos^2x+5\cos x-1=0\\\cos x=t,\;\cos^2x=t^2,\;t\in[-1;\;1]\\\\6t^2+5t-1=0\\D=25-4\cdot6\cdot(-1)=25+24=49\\t_{1,2}=\frac{-5\pm7}{12}\\t_1=-1\\t_2=\frac16\\\\\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi n\\\cos x=\frac16\Rightarrow x=\pm\arccos\left(\frac16\right)+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте решим уравнение 6sin²x - 5cosx - 5 = 0.

Для начала, давайте заменим cosx и sinx на известные тригонометрические тождества, чтобы свести уравнение к одной тригонометрической функции. Мы знаем, что sin²x + cos²x = 1, поэтому:

cos²x = 1 - sin²x

Теперь подставим это в исходное уравнение:

6sin²x - 5(1 - sin²x) - 5 = 0

Упростим:

6sin²x - 5 + 5sin²x - 5 = 0

11sin²x - 10 = 0

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону:

11sin²x = 10

Теперь разделим обе стороны на 11, чтобы получить sin²x в одиночестве:

sin²x = 10 / 11

Теперь избавимся от квадрата, взяв квадратный корень от обеих сторон:

sinx = ±√(10 / 11)

Так как синус имеет период 2π, то есть бесконечное число решений. Найдем несколько значений синуса на интервале от 0 до 2π:

1. sinx = √(10 / 11) (положительное значение)
2. sinx = -√(10 / 11) (отрицательное значение)

Чтобы найти значения x, возьмем обратный синус каждого из этих значений:

1. x = arcsin(√(10 / 11)) ≈ 0.994 радиан ≈ 57.06 градусов
2. x = arcsin(-√(10 / 11)) ≈ -0.994 радиан ≈ -57.06 градусов

Теперь давайте найдем другие решения в пределах интервала от 0 до 2π. Для этого добавим период 2π к каждому решению:

3. x = 2π + 0.994 ≈ 7.13 радиан ≈ 408.6 градусов
4. x = 2π - 0.994 ≈ 5.29 радиан ≈ 303.5 градусов
5. x = -2π - 0.994 ≈ -5.29 радиан ≈ -303.5 градусов
6. x = -2π + 0.994 ≈ -7.13 радиан ≈ -408.6 градусов

Таким образом, уравнение имеет бесконечно много решений, которые повторяются с периодом 2π. Одни из них: 57.06°, 303.5°, 408.6° и так далее.