Question

Визначте, чи є взаємо простими числа: 1) 342 і 539; 2) 644 і 1485; 3) 693 і 1144.

Answer 1

Взаимно простые числа - это числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

342 | 2                                       539 | 7

171 | 3                                         77 | 7

57 | 3                                          11 | 11

19 | 19                                         1

1                                                  539 = 7² · 11

342 = 2 · 3² · 19

НОД (342 и 539) = 1 - наибольший общий делитель

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

644 | 2                                         1485 | 3

322 | 2                                         495 | 3

161 | 7                                           165 | 3

23 | 23                                         55 | 5

1                                                    11 | 11

644 = 2² · 7 · 23                           1

                                                    1485 = 3³ · 5 · 11

НОД (644 и 1485) = 1 - наибольший общий делитель

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

693 | 3                                         1144 | 2                                

231 | 3                                          572 | 2

77 | 7                                            286 | 2

11 | 11                                             143 | 13

1                                                    11 | 11

693 = 3² · 7 · 11                             1

                                                     1144 = 2³ · 11 · 13

НОД (693 и 1144) = 11 - наибольший общий делитель

Числа 693 и 1144 не взаимно простые, так как у них есть общий делитель, отличный от единицы.

Answer 2

Для визначення того, чи є два числа взаємно простими, потрібно знайти їх найбільший спільний дільник (НСД). Якщо НСД дорівнює 1, тоді числа є взаємно простими; в іншому випадку, вони не є взаємно простими.

1. Для чисел 342 і 539 знайдемо НСД. Застосовуємо алгоритм Евкліда: 539 = 342 * 1 + 197 342 = 197 * 1 + 145 197 = 145 * 1 + 52 145 = 52 * 2 + 41 52 = 41 * 1 + 11 41 = 11 * 3 + 8 11 = 8 * 1 + 3 8 = 3 * 2 + 2 3 = 2 * 1 + 1 2 = 1 * 2 + 0

   Оскільки останній ненульовий залишок є 1, то НСД(342, 539) = 1. Отже, числа 342 і 539 є взаємно простими.

2. Для чисел 644 і 1485 знайдемо НСД. Застосовуємо алгоритм Евкліда: 1485 = 644 * 2 + 197 644 = 197 * 3 + 53 197 = 53 * 3 + 38 53 = 38 * 1 + 15 38 = 15 * 2 + 8 15 = 8 * 1 + 7 8 = 7 * 1 + 1 7 = 1 * 7 + 0

   Оскільки останній ненульовий залишок є 1, то НСД(644, 1485) = 1. Отже, числа 644 і 1485 є взаємно простими.

3. Для чисел 693 і 1144 знайдемо НСД. Застосовуємо алгоритм Евкліда: 1144 = 693 * 1 + 451 693 = 451 * 1 + 242 451 = 242 * 1 + 209 242 = 209 * 1 + 33 209 = 33 * 6 + 11 33 = 11 * 3 + 0

   Оскільки останній ненульовий залишок є 0, то НСД(693, 1144) = 33. Отже, числа 693 і 1144 не є взаємно простими.

Відповіді:

1. Числа 342 і 539 є взаємно простими.
2. Числа 644 і 1485 є взаємно простими.
3. Числа 693 і 1144 не є взаємно простими.