Question

Методом математической индукции докажите, что 4^n-1 кратно 3 для всех n>0.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для n=1 утверждение верно, 3 кратно 3.

Пусть оно верно для К(n)=4^n-1

Убедимся, что оно верно для К(n+1).

К(n+1)=4*4^n-1=4* К(n)+4-1=4*К(n)+3

Но по предположению индукции оказывается, что оба слагаемых кратны 3, что и доказывает утверждение.

Answer 2

Доказательство данного утверждения можно провести с использованием математической индукции.

Шаг базы: При n = 1, утверждение говорит, что 4^1 - 1 кратно 3, что верно, так как 4^1 - 1 = 4 - 1 = 3, что действительно делится на 3.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k > 0 выполняется утверждение: 4^k - 1 кратно 3.

Теперь докажем, что это утверждение верно и для k + 1: Для этого рассмотрим выражение 4^(k + 1) - 1. Мы можем переписать это выражение как (4^k * 4) - 1.

Заметим, что 4^k кратно 3 в соответствии с предположением индукции. То есть, существует некоторое целое число m, такое что 4^k = 3m.

Теперь мы можем переписать (4^k * 4) - 1 как (3m * 4) - 1 = 12m - 1.

Заметим, что 12m - 1 также является разностью между кратным числом 12m и числом 1. Таким образом, если 12m делится на 3, то и 12m - 1 делится на 3.

Осталось доказать, что 12m действительно кратно 3. Для этого заметим, что 12m = 3 * 4m. Таким образом, 12m делится на 3, и следовательно, делится и 12m - 1.

Таким образом, мы показали, что если 4^k - 1 кратно 3, то и 4^(k + 1) - 1 кратно 3.

Исходя из шага базы и шага индукции, мы можем заключить, что для всех n > 0 выражение 4^n - 1 кратно 3.