Question

Найдите все целые значения a при которых уравнение x^2 -(a+2)x-0,25a+1=0 имеет два различных неотрицательных корня запиши в ответ количество найденных значений.

Answer 1

Для начала определим при каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет два корня. Для этого нужно решить неравенство D > 0.

$D=(a+2)^2-4(1-\frac{1}{4}a)=a^2+4a+4-4+a=a^2+5a>0\\ a(a+5)>0\\\\a \in (-\infty;-5)\cup(0;+\infty)$

По теореме Виета, данное квадратное уравнение имеет два различных неотрицательных корня, если выполнена система неравенств

$\displaystyle \left \{ {{a+2\geq 0} \atop {-\frac{1}{4}a+1\geq 0}} \right. ;~~\left \{ {{a\geq -2} \atop {a\leq 4}} \right.$

С учетом существования корней, получаем $a \in (0;4]$ из них количество целых значений равно 4.

Ответ: 4.

Answer 2

Чтобы найти целые значения a, при которых уравнение имеет два различных неотрицательных корня, нужно выполнить следующие шаги:

1. Уравнение имеет два различных неотрицательных корня, если его дискриминант D больше или равен нулю и если a удовлетворяет условию, что оба корня являются неотрицательными.

2. Дискриминант D равен: D = (b^2 - 4ac), где в данном уравнении a = 1, b = -(a+2) и c = -0.25a+1.

3. Приравняем D к нулю и найдем значения a, при которых D ≥ 0:

   D ≥ 0 (-(a+2))^2 - 4 * 1 * (-0.25a+1) ≥ 0 (a+2)^2 + a - 4 ≥ 0 a^2 + 4a + 4 + a - 4 ≥ 0 a^2 + 5a ≥ 0 a(a + 5) ≥ 0

4. Теперь найдем интервалы, в которых удовлетворяющие условиям значения a:

   a(a + 5) ≥ 0 a ≥ 0, a + 5 ≥ 0 (оба множителя положительные) a < 0, a + 5 < 0 (оба множителя отрицательные)

5. Посмотрим на каждый интервал:

   a ≥ 0: Здесь оба множителя положительные, так что условие выполняется для всех неотрицательных a.

   a < 0: Здесь оба множителя отрицательные, так что условие выполняется только для a < -5.

6. Таким образом, найденное множество целых значений a - это все неотрицательные a, а также все a < -5.

Ответ: Количество найденных значений a равно "Бесконечно много" (так как это все неотрицательные a) + "Бесконечно много" (так как это все a < -5) = "Бесконечно много".