Question

Найти предел функции: lim(x-0) sin5x/4x^2​

Answer 1

lim(x-0) sin5x/4x^2​

Неопределенность [0/0]

Используем метод Лопиталя. Добудем производные от числителя и знаменателя

lim(x-0) sin5x/4x^2​ = lim(x-0) 5cos5x / 8x

Повторно используем метод Лопиталя

lim(x-0) 5cos5x / 8x = lim(x-0) -25sin5x / 8

Подставляя вместо х 0 получим что

lim(x-0) -25sin5x / 8 = 0

Ответ: 0

Answer 2

Для нахождения предела функции lim(x→0) sin(5x)/(4x^2), можно воспользоваться алгебраическими преобразованиями и замечаниями о пределах элементарных функций.

1. Начнем с упрощения функции: lim(x→0) sin(5x)/(4x^2) = lim(x→0) (5x)/(4x^2) * (sin(5x)/5x)

2. Заметим, что предел функции sin(x)/x при x→0 равен 1: lim(x→0) sin(x)/x = 1

3. Используем это замечание, чтобы преобразовать дробь sin(5x)/(5x) в 1: lim(x→0) (5x)/(4x^2) * (sin(5x)/5x) = lim(x→0) (5x)/(4x^2) * 1

4. Теперь, упростим выражение (5x)/(4x^2): lim(x→0) (5x)/(4x^2) = lim(x→0) 5/(4x)

5. Поскольку x→0, то 4x→0, а затем 5/(4x) стремится к бесконечности: lim(x→0) 5/(4x) = ∞

Таким образом, предел функции lim(x→0) sin(5x)/(4x^2) равен положительной бесконечности (∞).