Question

Найдите трехзначное число, если цифры единиц, десятков и сотен в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа меньшего данного на 400, в том же порядке образуют арифметическую прогрессию. ​

Answer 1

Ответ:

931

Пошаговое объяснение:

рассуждал так: если надо вычитать 400, значит, само число точно больше 400. далее вспоминаем, что геометрическая прогрессия связана с умножением на одно и то же число. умножение на число, большее единицы, затруднительно, т.к. получается слишком много. поэтому пришёл вот к чему:

9 * (1/3) = 3

3 * (1/3) = 1

931.

при вычитании 400:

531

5 + (-2) = 3

3 + (-2) = 1

готово =)

Answer 2

Давайте обозначим трехзначное число как ABC, где A - цифра сотен, B - цифра десятков и C - цифра единиц. Тогда число, меньшее данного на 400, будет иметь вид (A-4)(B-4)(C-4).

Условия задачи:

1. Цифры единиц, десятков и сотен образуют геометрическую прогрессию: B = A * r C = B * r = A * r^2

2. Цифры числа, меньшего данного на 400, образуют арифметическую прогрессию: (B-4) - B = (C-4) - (B-4) B - 4 - B = C - 4 - B + 4 -4 = C - B C = B - 4

Теперь у нас есть система уравнений:

1. B = A * r
2. C = B - 4

Подставим (1) в (2):

C = (A * r) - 4

Также, зная, что C = A * r^2, можем приравнять:

A * r^2 = (A * r) - 4

Приведем к одной стороне уравнения:

A * r^2 - A * r + 4 = 0

Теперь найдем решение этого квадратного уравнения. Так как известно, что A, B и C являются цифрами, то A, r и B являются положительными целыми числами (1, 2, 3, ...). Поэтому у нас есть ограничения для корней.

Найдем дискриминант D:

D = (-A * r)^2 - 4 * A * (A * r^2 - 4) = A^2 * r^2 + 16A - 16

Чтобы у уравнения было решение с положительным целым значением r, дискриминант D должен быть полным квадратом. Попробуем найти такие значения A и D:

1. A = 1: D = 1^2 * r^2 + 16 * 1 - 16 = r^2 + 16 - 16 = r^2 Корнем D может быть любое положительное целое число r.

2. A = 2: D = 2^2 * r^2 + 16 * 2 - 16 = 4r^2 + 32 - 16 = 4r^2 + 16 = 4(r^2 + 4) Корень D должен быть полным квадратом. Возможные значения r: 1, 3.

3. A = 3: D = 3^2 * r^2 + 16 * 3 - 16 = 9r^2 + 48 - 16 = 9r^2 + 32 = 1 (mod 8) Корень D должен быть полным квадратом. Однако нет такого r, при котором 9r^2 + 32 является полным квадратом, так как 9r^2 + 32 имеет остаток 1 при делении на 8.

Таким образом, для возможных значений A (A = 1 и A = 2) есть решение с положительным целым значением r. Подставим значения A и r в уравнения (1) и (2) для каждого случая:

1. A = 1, r = 1: B = A * r = 1 * 1 = 1 C = B * r = 1 * 1 = 1

2. A = 2, r = 1: B = A * r = 2 * 1 = 2 C = B * r = 2 * 1 = 2

3. A = 2, r = 3: B = A * r = 2 * 3 = 6 C = B * r = 6 * 3 = 18

Обратите внимание, что возможные значения r = 1 и r = 3 не приводят к трехзначным числам. Таким образом, единственным трехзначным числом, удовлетворяющим условиям задачи, является 112.