Question

Найдите сумму: 1/1+√2 + 1/√2+√3 + . . . + 1/√2001+√2002 ПОМОГИТЕ!

Answer 1

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2001}+\sqrt{2002}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}+\\ \\ \\ +\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+...+\dfrac{\sqrt{2001}-\sqrt{2002}}{(\sqrt{2001}+\sqrt{2002})(\sqrt{2001}-\sqrt{2002})}=\\ \\ \\ =\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\dfrac{\sqrt{2001}-\sqrt{2002}}{2001-2002}=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\\ \\ \\ -...-\sqrt{2001}+\sqrt{2002}=-1+\sqrt{2002}$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод телескопического суммирования. Воспользуемся следующим свойством:

1/(√n + √(n+1)) = (√(n+1) - √n)/(√n * √(n+1))

Применяя это свойство к каждому слагаемому, получим:

1/1+√2 + 1/√2+√3 + ... + 1/√2001+√2002 = (√2 - √1)/(√1 * √2) + (√3 - √2)/(√2 * √3) + ... + (√2002 - √2001)/(√2001 * √2002)

Заметим, что каждое слагаемое вида (√(n+1) - √n)/(√n * √(n+1)) имеет телескопическую структуру. То есть, числитель одного слагаемого является дополнением знаменателя предыдущего слагаемого.

Применяя это свойство, сокращаем слагаемые:

(√2 - √1)/(√1 * √2) + (√3 - √2)/(√2 * √3) + ... + (√2002 - √2001)/(√2001 * √2002) = (√2002 - √1)/(√1 * √2002)

Теперь, чтобы вычислить данное выражение, подставим значения:

(√2002 - √1)/(√1 * √2002) = (√2002 - 1)/(√2002) = (√2002/√2002) - (1/√2002) = 1 - 1/√2002

Таким образом, сумма ряда равна 1 - 1/√2002.