Question

Помогите пожалуйста! Доказать, что сумма кубов двух натуральных чисел не может быть простым числом.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) делится на (a+b)

Answer 2

Давайте предположим, что существуют два натуральных числа, обозначим их как a и b, такие, что сумма их кубов является простым числом. Имеем:

a^3 + b^3 = простое число

Мы можем записать это выражение в виде суммы кубов, используя формулу суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Заметим, что выражение (a + b) является множителем исходной суммы. Если сумма кубов является простым числом, то у неё должен быть только один множитель, а именно само число и единица.

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. (a + b) = 1 Это означает, что a + b равно единице. Однако, по условию задачи, a и b являются натуральными числами. Натуральные числа больше или равны единице, поэтому сумма двух натуральных чисел не может быть равной единице. Таким образом, этот случай невозможен.

2. (a + b) = простое число Предположим, что (a + b) является простым числом. Тогда (a^2 - ab + b^2) должно быть равно 1, так как сумма кубов имеет только один множитель. Однако, это уравнение не имеет решений среди натуральных чисел, так как (a^2 - ab + b^2) всегда будет больше или равно нулю при ненулевых значениях a и b. Значит, этот случай также невозможен.

Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма кубов двух натуральных чисел не может быть простым числом.