Question

Число A состоит из девяти ненулевых цифр. К нему прибавили восьмизначное число, состоящее из одинаковых цифр. В результате получилось девятизначное число B. Оказалось, что число B может быть получено из числа A перестановкой некоторых цифр. На какую наименьшую цифру может начинаться число B, если последняя цифра числа A равна 6?

Answer 1

Ответ:

6

Пошаговое объяснение:

Число A состоит из девяти ненулевых цифр и последняя цифра числа A равна 6. Тогда сумма цифр числа А: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Пусть этими цифрами будут: A=abcdefgh6.  

К нему прибавили восьмизначное число C, состоящее из одинаковых цифр: C=xxxxxxxx=11111111•x.

В результате получилось девятизначное число B, которое может быть получено из числа A перестановкой некоторых цифр, то есть сумма цифр числа B также 45.  

Так как сумма цифр чисел A и B равна 45, то, по признаку делимости на 9, оба числа делятся на 9, и как следствие этого, их разность B-A также делится на 9. Но

B-A = C = xxxxxxxx = 11111111•x,

то есть и число 11111111•x также должен делится на 9. В произведении число 11111111 (сумма цифр равна 8) не делится на 9, так что цифра x должен делится на 9. Но такая цифра только одна: 9.

Первую цифру числа B обозначим через Y. Так как 6+9=15, то все остальные цифры, кроме последней, обозначим звёздочками.

Для наглядности сумму запишем столбиком:

₊abcdefgh6

  99999999

Y* * * * * * * 5

Все цифры числа A больше нуля, поэтому в сумме с цифрой 9 и из-за перехода 1 с предыдущей суммы цифр получим число большее 10. Так как цифра 5 в цифрах числа B уже занято, то все цифры bcdefgh числа A не могут быть равной 5. В противном случае, если одна из них равна 5, то получим в сумме с этой цифрой 5 числа A c 9 числа B и числом 1, которая переходит с предыдущей суммы цифр получим 15, что не возможно.

Значит все цифры числа A, кроме первой не могут быть равными 5. Так как число A состоит из девяти ненулевых цифр, то первая цифра числа А должна быть 5.

Отсюда, 5+1=6 и первая цифра числа В - это 6.

Answer 2

Последняя цифра числа A равна 6, что означает, что число A оканчивается на 6.

Когда к числу A прибавляют восьмизначное число, состоящее из одинаковых цифр, сумма B будет также иметь одинаковые цифры в каждом разряде (потому что все цифры прибавляемого числа одинаковы).

Для того чтобы наименьшая цифра в числе B была наибольшей возможной, нужно максимизировать цифры числа A в каждом разряде.

Посмотрим на возможные цифры числа A в каждом разряде, чтобы получить максимальное значение B:

1. Поскольку число A состоит из девяти ненулевых цифр, чтобы получить максимально возможную сумму, мы можем использовать следующие цифры: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

2. Первая цифра числа A не может быть 0, потому что число A должно состоять из девяти ненулевых цифр.

3. Поскольку последняя цифра числа A равна 6, максимальное значение для первой цифры должно быть 9.

4. Для оставшихся восьми разрядов, чтобы получить максимальное число, мы будем использовать оставшиеся максимальные цифры в убывающем порядке.

Таким образом, число A будет иметь следующий вид: 968754321.

Теперь прибавим к числу A восьмизначное число, состоящее из одинаковых цифр (например, 99999999):

968754321 + 99999999 = 1064758320

Таким образом, полученное число B равно 1064758320.

Наименьшая цифра, с которой может начинаться число B, равна 0.