Question

Тема векторы: Найти велечину углов, длинны сторон и площадь труеголника ABC, где A(1,3,1) B(2,5,0) C(4,-1,3) Напишите, хотя бы формулы, не могу найти

Answer 1

Даны вершины треугольника ABC: A(1; 3; 1), B(2; 5; 0), C(4; -1; 3).

Определяем векторы.

АВ (2-1=1; 5-3=2; 0-1=-1) = (1; 2; -1). Модуль (длина) = √(1+4+1) = √6.

ВС (4-2=2; -1-5=-6; 3-0=3) = (2; -6; 3). Модуль (длина) = √(4+36+9) = √49=7.

АС (4-1=3; -1-3=-4; 3-1=2) = (3; -4; 2). Модуль (длина) = √(9+16+4) = √29.

cos A = (AC x AB) / (|AC| * |AB|) = (3*1+(-4)*2+2*(-1)) / (√29*√6) =  

= -7 / √174 ≈ -0,53067.  

Угол А = 2,13019 радиан или 122,0506 градуса.

cos B = (BA x BC) / (|BA| * |BC|) = (-1*2+(-2)*(-6)+1*3) / (√6*7) =  

= 13 / 7√6 ≈ 0,728175.

Угол В = 0,71029 радиан или 40,6964 градуса.

BA = (-1; -2; 1), BC = (2; -6; 3)

cos С = (СA x СB) / (|СA| * |СB|) = (-3*(-2)+4*6+(-2)*(-3)) / (√29*7) =  

= 36 / 7√29 ≈ 0,955005.  

Угол С = 0,30112 радиан или 17,2530 градуса.  

СА = (-3; 4; -2),СВ = (-2; 6; -3).

Площадь S = (1/2)|AB| * |AC| * sin A = (1/2)* √6*√29*sin 122,0506° = 5,59017 кв.ед.

Площадь также равна половине модуля векторного произведения векторов АВ (1; 2; -1) на АС (3; -4; 2).

i       j      k |      i      j

1      2     -1 |     1      2

3    -4     2 |     3     -4     =   4i - 3j - 4k - 2j - 4i - 6k = (0i - 5j - 10k).

S = (1/2)√(0 + 25 + 100) = (1/2)√(125 = (5/2)√5 = 2.5*2,2361 ≈ 5,59017 кв.ед.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать векторные операции. Вот несколько формул, которые помогут нам найти углы, длины сторон и площадь треугольника ABC.

1. Длина вектора: Для вектора $\overrightarrow{AB}$ длина будет равна: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Аналогично, для векторов $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CA}$, длины будут: $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}$ $|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2}$

2. Угол между векторами: Угол $\theta$ между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ можно найти с помощью скалярного произведения и формулы:

$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}$

Аналогично, углы $\alpha$ и $\beta$ между векторами $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CA}$, а также $\gamma$ между векторами $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{AB}$, можно вычислить с помощью скалярных произведений и формулы:

$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}|}$ $\cos(\beta) = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{AB}|}$