Question

Три друга: Саша, Дима и Миша – отдыхают вместе на турбазе и любят бегать по утрам. Саша и Дима одновременно выбежали с турбазы и побежали по дорожке вдоль реки, Саша со скоростью 16 км/ч, а Дима – 12 км/ч. Миша долго умывался и одевался, но через 15 минут выбежал за друзьями в том же направлении. Найдите, с какой скоростью бежал Миша, если он догнал Сашу на 15 минут позже, чем Диму.

Answer 1

15 минут = 1/4 ч.

16*1/4 = 4 км пробежал Саша за 15 мин.

12*1/4 = 3 км пробежал Дима за 15 мин.

Миша бежал со скоростью x км/ч.

x-16 км/ч скорость сближения Миши с Сашей.

4/(x-16) ч - время, за которое Миша догонит Сашу.

x-12 км/ч скорость сближения Миши с Димой.

3/(x-12) - время за которое Миша догонит Диму.

Миша догнал Сашу на 15 мин = 1/4 ч позже, чем Диму, то есть

$\frac4{x-16}-\frac3{x-12}=\frac14\\\\\frac{4(x-12)-3(x-16)}{(x-16)(x-12)}=\frac14\\\\\frac{4x-48-3x+48}{x^2-28x+192}=\frac14\\\\\frac{x}{x^2-28x+192}=\frac14\\\\4x=x^2-28x+192\\x^2-32x+192=0\\D=1024-4\cdot1\cdot192=1024-768=256=(16)^2\\x_{1,2}=\frac{32\pm16}2\\x_1=8,\;x_2=24$

Первый корень не подходит, т.к. с такой скоростью Миша не догнал бы ни Диму, ни Сашу.

Ответ: Миша бежал со скоростью 24 км/ч.

Answer 2

Пусть время, через которое Дима догоняет Сашу, равно t часам. За это время Саша пробежит 16t км, а Дима пробежит 12t км.

Так как Миша догоняет Сашу на 15 минут позже, чем Диму, то время, через которое Миша догоняет Сашу, будет (t + 15/60) часов. За это время Миша пробежит x км.

Итак, мы имеем два уравнения:

16t = 12(t + 15/60) (уравнение 1) 16t - 12t = 12(15/60) (уравнение 2)

Решим уравнение 2:

4t = 3 t = 3/4

Теперь подставим найденное значение t в уравнение 1:

16 * (3/4) = 12 * (3/4 + 15/60) 12 = 12

Мы получаем равенство, что означает, что у нас есть бесконечное количество решений для скорости Миши. Любая скорость x, где x ≥ 12 км/ч, удовлетворяет условию задачи.