Question

Исследовать функцию: y=x^3-6x^2+9x-5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Д(у):(-∞;+∞)

Е(у):(-∞;+∞)

Answer 2

Для исследования функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 5$ мы проанализируем её свойства, такие как область определения, поведение в пределах этой области, асимптоты, экстремумы, точки перегиба и т.д.

1. Область определения: Функция $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 5$ определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, её область определения составляет все действительные числа $\mathbb{R}$.

2. Поведение на бесконечности: Когда $x$ стремится к плюс или минус бесконечности, $x^3$ будет доминировать, и функция будет приближаться к плюс или минус бесконечности, в зависимости от знака $x^3$.

$\lim_{{x \to \infty}} (x^3 - 6x^2 + 9x - 5) = \infty$

$\lim_{{x \to -\infty}} (x^3 - 6x^2 + 9x - 5) = -\infty$

3. Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 5 = 0$:

$x^3 - 6x^2 + 9x - 5 = 0$

Пока у меня нет возможности решить это уравнение аналитически, но его можно решить численными методами или с помощью компьютерных программ. Таким образом, можно найти значения $x$, при которых функция $y$ равна нулю.

4. Производная и точки экстремума: Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 - 12x + 9$

Для нахождения точек экстремума приравниваем $y'$ к нулю и решим уравнение:

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Решением этого уравнения является $x = 1$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проанализировать знак производной в окрестности этой точки:

Подставим $x = 0$ в $y'$: $y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 12 \cdot 0 + 9 = 9$

Таким образом, в окрестности точки $x = 1$ производная $y'$ положительна, что говорит о том, что у нас есть минимум функции.

5. Точки перегиба: Точки перегиба возникают там, где меняется направление кривизны функции. Чтобы найти точки перегиба, решим уравнение $y'' = 0$, где $y''$ - вторая производная функции $y$:

$y'' = \frac{{d^2y}}{{dx^2}} = 6x - 12$

$6x - 12 = 0$

Решая уравнение, получим $x = 2$. Чтобы проверить, что это точка перегиба, проанализируем знак второй производной в окрестности этой точки:

Подставим $x = 1$ в $y''$: $y''(2) = 6 \cdot 2 - 12 = 0$

Знак второй производной меняется вокруг $x = 2$, поэтому это точка перегиба.

6. Поведение функции на интервалах между критическими точками и точками перегиба: Для этого можно выбрать тестовые значения $x$ в интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$, и $(2, \infty)$ и подставить их в функцию $y$ для получения соответствующих значений $y$. Из этого анализа можно выяснить поведение функции в этих интервалах.

Это исследование поможет нам понять поведение функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 5$ и нарисовать её график. Точные значения минимумов, максимумов и точек перегиба позволят более точно представить картину этой функции.