Question

Числа а1 а2 а3... аn an+1 образуют арифметическую прогрессию доказать что 1/a1*a2+1/a2*a3+...+1/an*an+1 = n/a1 * an+1

Answer 1

$a_n=a_1+(n-1)d\\ \dfrac{1}{a_1a_2}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{1}{(a_1+0*d)(a_1+1*d)}+...+\dfrac{1}{(a_1+(n-1)*d)(a_1+n*d)}=\dfrac{1}{d}(\dfrac{1}{(a_1+0*d)}-\dfrac{1}{(a_1+1*d)})+...+\dfrac{1}{d}(\dfrac{1}{(a_1+(n-1)*d)}-\dfrac{1}{(a_1+n*d)})=\dfrac{1}{d}(\dfrac{1}{(a_1+0*d)}-\dfrac{1}{(a_1+n*d)})=\dfrac{nd}{d(a_1+0*d)(a_1+n*d)}=\dfrac{n}{a_1*a_{n+1}}$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами арифметической прогрессии.

Пусть а1, а2, а3, ..., аn, аn+1 образуют арифметическую прогрессию. Тогда разность между любыми двумя последовательными членами прогрессии будет постоянной величиной, которую обозначим как d.

Таким образом, можно записать:

а2 - а1 = d, а3 - а2 = d, ..., аn - аn-1 = d, ан+1 - аn = d.

Теперь давайте рассмотрим выражение 1/а1 * а2 + 1/а2 * а3 + ... + 1/ан * ан+1:

1/а1 * а2 + 1/а2 * а3 + ... + 1/ан * ан+1 = (а2 - а1)/а1 + (а3 - а2)/а2 + ... + (ан+1 - ан)/ан.

Так как а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ан+1 - ан = d, можно переписать выражение:

(а2 - а1)/а1 + (а3 - а2)/а2 + ... + (ан+1 - ан)/ан = d/а1 + d/а2 + ... + d/ан.

Теперь выносим общий множитель d за скобки:

d/а1 + d/а2 + ... + d/ан = d * (1/а1 + 1/а2 + ... + 1/ан).

Но так как а1, а2, а3, ..., аn образуют арифметическую прогрессию, мы знаем, что аn+1 = аn + (n - 1) * d.

Теперь заменим ан+1 в исходном выражении:

d * (1/а1 + 1/а2 + ... + 1/ан) = d * (1/а1 + 1/а2 + ... + 1/ан) = d * (1/а1 + 1/а2 + ... + 1/аn + 1/ан+1).

Теперь давайте запишем выражение n/a1 * аn+1:

n/a1 * ан+1 = n/а1 * (ан + (n - 1) * d).

Теперь раскроем скобки:

n/а1 * (ан + (n - 1) * d) = n/а1 * ан + n/а1 * (n - 1) * d.

Теперь мы знаем, что аn = аn+1 - d, поэтому можем заменить ан в выражении:

n/а1 * ан + n/а1 * (n - 1) * d = n/а1 * (ан+1 - d) + n/а1 * (n - 1) * d.

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

n/а1 * (ан+1 - d) + n/а1 * (n - 1) * d = n/а1 * ан+1 - n + n = n/а1 * ан+1.

Таким образом, мы доказали, что 1/а1 * а2 + 1/а2 * а3 + ... + 1/ан * ан+1 = n/а1 * ан+1.