Question

СРОЧНО!!! Решите уравнение: 2cos2x=Sinx+1

Answer 1

$2\cos 2x=\sin x+1\\ \\ 2(1-2\sin^2x)=\sin x+1\\ \\ 2-4\sin^2x=\sin x+1\\ \\ 4\sin^2x+\sin x-1=0$

Последнее уравнение это квадратное уравнение относительно sinx

$D=1^2+16=17\\ \\ \sin x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8}\\ \\ \boxed{\boldsymbol{x=(-1)^k\cdot \arcsin \dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8}+\pi k,k \in \mathbb{Z}}}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его:

1. Перепишем уравнение: 2cos(2x) = sin(x) + 1.

2. Заменим cos(2x) по формуле двойного аргумента: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

3. Подставим полученное значение в исходное уравнение: 2(1 - 2sin^2(x)) = sin(x) + 1.

4. Раскроем скобки: 2 - 4sin^2(x) = sin(x) + 1.

5. Перенесем все члены в одну сторону: 4sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Давайте решим его с помощью формулы дискриминанта:

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 4, b = 1, c = -1.

D = (1)^2 - 4 * 4 * (-1) = 1 + 16 = 17.

Теперь найдем значения sin(x) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √D) / 2a.

1. sin(x) = (-1 + √17) / (2 * 4) ≈ (–1 + 4.123) / 8 ≈ 0.515.

2. sin(x) = (-1 - √17) / (2 * 4) ≈ (–1 - 4.123) / 8 ≈ -0.64.

Теперь найдем соответствующие значения углов x с помощью арксинуса:

1. x = arcsin(0.515) ≈ 30.43°.

2. x = arcsin(-0.64) ≈ -39.76°.

Помните, что синус - периодическая функция с периодом 360° (или 2π радиан). Таким образом, ответы могут быть расширены на все возможные значения углов, которые удовлетворяют уравнению.

Таким образом, общие решения уравнения: x ≈ 30.43° + k * 360° и x ≈ -39.76° + k * 360°, где k - любое целое число.