Question

Доведіть, що функція g(х) = х^3-x^2+7x -√3 зростає на R *​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

g(x) =x³-x²+7x-√3

g'(x)=(x³-x²+7x-√3)'=3x²-2x+7=3(x²-2x/3+1/9)+20/3=3(x-1/3)²+20/3>0

g'(x)>0⇒g(x)↑

Ч.т.д

Answer 2

Для доведення того, що функція g(x) = x^3 - x^2 + 7x - √3 зростає на всьому множині дійсних чисел R, ми покажемо, що похідна функції g(x) є додатною на всьому R.

1. Обчислення похідної функції g(x): g'(x) = d/dx (x^3 - x^2 + 7x - √3) = 3x^2 - 2x + 7

2. Доведення того, що g'(x) є додатньою на R: Для того щоб довести, що g'(x) є додатньою на всьому R, ми можемо перевірити знак похідної для будь-якого дійсного числа x.

   Знайдемо критичні точки функції g'(x), де g'(x) може змінювати свій знак: 3x^2 - 2x + 7 = 0

   Дискримінант D цього квадратного рівняння є: D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 3 * 7 = 4 - 84 = -80

   Оскільки D < 0, то це означає, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, тобто g'(x) = 3x^2 - 2x + 7 не має критичних точок на R.

   Тепер, щоб з'ясувати знак похідної g'(x) на всьому R, можемо скористатися тестами знаків.

   a) Коли x < 0: Підставимо x = -1 (довільне від'ємне число) у g'(x): g'(-1) = 3 * (-1)^2 - 2 * (-1) + 7 = 3 - (-2) + 7 = 3 + 2 + 7 = 12 Так як g'(-1) > 0, це означає, що g'(x) додатня для усіх x < 0.

   b) Коли x > 0: Підставимо x = 1 (довільне додатнє число) у g'(x): g'(1) = 3 * 1^2 - 2 * 1 + 7 = 3 - 2 + 7 = 8 Так як g'(1) > 0, це означає, що g'(x) додатня для усіх x > 0.

   Отже, ми довели, що g'(x) додатня для усіх x < 0 і x > 0. Таким чином, функція g(x) = x^3 - x^2 + 7x - √3 зростає на всьому R.