Question

Розв’яжіть рівняння: 1) 2 sin23x – 3sin3x + 1 =0; 2) 2cos2 4x 3 +11sin4x 3 -7=0; 3)sin8x + cos8x = 0; 4) 2sin2x + 3 sinx cosx + cos2x = 0 .

Answer 1

Ответ:

1) 2 sin23x – 3sin3x + 1 =0;

-1sin20x + 1 =  0

-1sin20x  = 0-1

-1sin20x = -1

sin x = -1 / (-1)

sin x = 1

Answer 2

Давайте розв'яжемо кожне рівняння по черзі:

1. 2sin(23x) - 3sin(3x) + 1 = 0

На жаль, це рівняння не можна розв'язати аналітично. Зазвичай для таких рівнянь використовують чисельні методи для знаходження наближеного розв'язку.

2. 2cos^2(4x) + 3sin(4x) - 7 = 0

Спростимо рівняння: 2(1 - sin^2(4x)) + 3sin(4x) - 7 = 0 2 - 2sin^2(4x) + 3sin(4x) - 7 = 0 -2sin^2(4x) + 3sin(4x) - 5 = 0

Замінимо sin(4x) = t: -2t^2 + 3t - 5 = 0

Тепер знайдемо значення t, які задовольняють це рівняння. Використаємо квадратне рівняння: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = -2, b = 3, c = -5.

t = (-(3) ± √((3)^2 - 4(-2)(-5))) / 2(-2) t = (-3 ± √(9 - 40)) / -4 t = (-3 ± √(-31)) / -4

Так як дискримінант від'ємний, це рівняння не має розв'язків у дійсних числах.

3. sin(8x) + cos(8x) = 0

Ми можемо скористатися тригонометричним тотожністю: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

За аналогією, ми можемо помножити обидві частини рівняння на sin^2(8x): sin^2(8x) * sin(8x) + sin^2(8x) * cos(8x) = 0

Замінимо sin^2(8x) на (1 - cos^2(8x)): (1 - cos^2(8x)) * sin(8x) + (1 - cos^2(8x)) * cos(8x) = 0

Тепер витягнемо (1 - cos^2(8x)): sin(8x) - sin(8x) * cos^2(8x) + cos(8x) - cos^3(8x) = 0

Залишимо один доданок з cos^2(8x) та один з cos(8x): sin(8x) + cos(8x) * (1 - cos^2(8x)) = 0

Ми знаємо, що sin(8x) + cos(8x) = 0, тому підставимо це значення: 0 + cos(8x) * (1 - cos^2(8x)) = 0

Таким чином, ми маємо два рівняння: cos(8x) = 0 1 - cos^2(8x) = 0

1 - cos^2(8x) = 0 cos^2(8x) = 1 cos(8x) = ±1

Розв'язками будуть:

1. cos(8x) = 0: 8x = π/2 + kπ, де k - ціле число x = (π/2 + kπ) / 8

2. cos(8x) = 1: 8x = 2kπ, де k - ціле число x = (2kπ) / 8 = (kπ) / 4

3. cos(8x) = -1: 8x = (2k + 1)π, де k - ціле число x = ((2k + 1)π) / 8

4. 2sin(2x) + 3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Спростимо рівняння використовуючи тригонометричні тотожності: 2sin(2x) + 3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0 2sin(2x) + 3sin(x)cos(x) + 1 - sin^2(x) = 0 2sin(2x) + 3sin(x)cos(x) - sin^2(x) + 1 = 0

Замінимо sin(2x) на 2sin(x)cos(x): 2(2sin(x)cos(x)) + 3sin(x)cos(x) - sin^2(x) + 1 = 0 4sin(x)cos(x) + 3sin(x)cos(x) - sin^2(x) + 1 = 0 7sin(x)cos(x) - sin^2(x) + 1 = 0

Тепер замінимо sin^2(x) на 1 - cos^2(x): 7sin(x)cos(x) - (1 - cos^2(x)) + 1 = 0 7sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Тепер ми можемо скористатися тотожністю sin(2x) = 2sin(x)cos(x): 7sin(2x) + cos^2(x) = 0

Замінимо cos^2(x) на 1 - sin^2(x): 7sin(2x) + 1 - sin^2(x) = 0

Тепер замінимо sin^2(x) на 1 - cos^2(x) ще раз: 7sin(2x) + 1 - (1 - cos^2(x)) = 0 7sin(2x) + cos^2(x) = 1

Теп