Question

50 БАЛЛОВ!!! Установити вид ∆ABC та знайти його периметр і площину, якщо:а) А (-2;0;5), В (3;4;0), С (-2;4;0)б) А (2;4;-1), В (-1;1;2), С (5;1;2)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: а) |AB| = √(3+2)²+(4-0)²²+(0-5)²= √(25+16+25)=√66                        |BC|=√(3+2)²+(4-4)²+(0-0)²= √25=5                                      |AC|= √(-2+2)²+(0-4)²+(5-0)²= √(16+25)=√41.      Получили, что АВ²=ВС²+АС²   (66=25+41), значит ΔАВС-прямоугольный.   Периметр Р= √5+√66+√41.   Площадь равна  S= BC·AC/2 = √25·√41/2=5·√41/2.     б) |AB|=√(2+1)²+(4-1)²+(-1-2)² = √27=3√3         |BC|= √(-1-5)²+(1-1)²+( 2-2)²=√36=6     |AC|=√(2-5)²+(4-1)²+(-1-2)²= √27=3√3, значит ΔАВС-равнобедренный, т.к. АВ=АС.  Периметр Р= 6+3√3+3√3= 6+6√3.     Чтобы найти площадь, найдём высоту (медиану) АО, 0-середина ВС, значит О( -1+5/2; 1-1/2; 2-2/2) ⇒ О (2;0;0)                                                 Тогда |AO|= √(2-2)²+(4-0)²+(-1-0)²=√17 ⇒ S= ВС·АО/2= 6·√17/2

Answer 2

Щоб встановити вид трикутника ∆ABC, перевіримо довжини сторін та кути між ними.

а) Для трикутника з вершинами А (-2;0;5), В (3;4;0) та С (-2;4;0):

1. Довжини сторін: AB = √((3 - (-2))^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 5)^2) = √(5^2 + 4^2 + 5^2) = √(25 + 16 + 25) = √66. BC = √((-2 - 3)^2 + (4 - 4)^2 + (0 - 0)^2) = √((-5)^2 + 0^2 + 0^2) = √25 = 5. AC = √((-2 - (-2))^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 5)^2) = √(0^2 + 4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41.

2. Кути: Застосуємо теорему косинусів для знаходження кутів: ∠A = cos^(-1)((BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)). ∠B = cos^(-1)((AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB)). ∠C = cos^(-1)((AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)).

б) Для трикутника з вершинами А (2;4;-1), В (-1;1;2) та С (5;1;2):

1. Довжини сторін: AB = √((-1 - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (2 - (-1))^2) = √((-3)^2 + (-3)^2 + 3^2) = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3. BC = √((5 - (-1))^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 2)^2) = √((6)^2 + 0^2 + 0^2) = √36 = 6. AC = √((5 - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (2 - (-1))^2) = √((3)^2 + (-3)^2 + 3^2) = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3.

2. Кути: Застосуємо теорему косинусів для знаходження кутів: ∠A = cos^(-1)((BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)). ∠B = cos^(-1)((AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB)). ∠C = cos^(-1)((AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)).

Зауважте, що для обох трикутників трикутник ABC є невиродженим, тому всі кути будуть гострими (менше 90 градусів).

Тепер, щоб знайти периметр та площу, ми можемо використати наступні формули:

1. Периметр трикутника (P) обчислюється як сума довжин його сторін: P = AB + BC + AC.

2. Площа трикутника (S) може бути обчислена за допомогою формули Герона: S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)), де p - півпериметр трикутника: p = (AB + BC + AC) / 2.

Замінимо значення та обчислимо периметр і площу для обох трикутників.