Question

ЕГЭ профильная математика 14 задание Дана правильная пирамида SABCDEF с основанием ABCDEF.Сторона основания равна 12, а боковое ребро равно 12√2. а) Докажите, что высота пирамиды равна 12. б) Найдите угол между прямыми SB и AD.

Answer 1

а) Проекция бокового ребра на основание равна длине  стороны основания. Отсюда по Пифагору высота Н равна:

Н = √(L² - a²) = √(144*2 - 144) = 12.

б) Так как диагональ основания АД параллельна стороне ВС, то угол между прямыми SB и AD можно заменить на угол между прямыми SB и ВС.

Это угол при основании боковой грани.

cos(SBC) = (a/2)/L = 6/(12√2) = 1/2√2 = √2/4 ≈ 0,353553.

Угол(SBC) = arc cos(0,353553) = 1,2094  радиан = 69,2952  градуса.

Ответ: угол между прямыми SB и AD равен 69,2952  градуса.

Answer 2

а) Чтобы доказать, что высота пирамиды равна 12, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике SAB.

Рассмотрим треугольник SAB. У него сторона SA равна высоте пирамиды, сторона AB равна стороне основания пирамиды, а сторона SB равна боковому ребру пирамиды. Мы знаем, что сторона AB равна 12, а сторона SB равна 12√2.

Применяя теорему Пифагора, получим: SA² + AB² = SB² SA² + 12² = (12√2)² SA² + 144 = 288 SA² = 288 - 144 SA² = 144 SA = √144 SA = 12

Таким образом, высота пирамиды равна 12.

б) Чтобы найти угол между прямыми SB и AD, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольной пирамиды. Угол между прямыми SB и AD равен углу между гранью SAB и плоскостью ABCDEF.

Поскольку пирамида является правильной, все ее грани равнобедренные треугольники. Значит, угол между сторонами SB и AB равен углу между сторонами SA и AB.

Таким образом, чтобы найти искомый угол, нам нужно найти угол между прямыми SA и AB.

Рассмотрим треугольник SAB. Угол между сторонами SA и AB равен углу между сторонами SA и SB, так как SB и AB являются равными сторонами пирамиды.

Так как мы уже доказали, что SA равно 12, а SB равно 12√2, мы можем найти этот угол с помощью тригонометрии.

Тангенс угла между SA и SB равен отношению противоположной стороны (SA) к прилежащей стороне (SB). Таким образом, мы имеем: tan(угол SA-SB) = SA / SB tan(угол SA-SB) = 12 / (12√2) tan(угол SA-SB) = 1 / √2

Найдем значение этого угла, возьмем арктангенс (тангенс обратный) от обоих частей: угол SA-SB = arctan(1 / √2)

Вычислив этот арктангенс, получим значение угла между прямыми SB и AD.