Question

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.

Answer 1

Ответ:

25

Пошаговое объяснение:

Биссектрисы углов пересекаются под прямым углом. Получается прямоугольный треугольник. Известно два катета, нужно найти гипотенузу. По теореме Пифагора:

а(в квадрате) + в(в квадрате)=с(в квадрате)

15(в квадрате)+20(в квадрате)=с(в квадрате)

225+400=с(в квадрате)

с(в квадрате)=625

с=25

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами биссектрис треугольника.

Обозначим точку пересечения биссектрис точкой F. Заметим, что биссектрисы углов A и B делят основание трапеции AB пропорционально длинам боковых сторон. Поэтому мы можем записать следующие пропорции:

AF/BF = AC/CD и AF/BF = AD/BD

Заметим, что AF = 20 и BF = 15, поэтому мы можем записать:

20/15 = AC/CD и 20/15 = AD/BD

Мы можем переписать эти пропорции в виде:

4/3 = AC/CD и 4/3 = AD/BD

Так как AC + CD = AD + BD = AB (по свойствам трапеции), мы можем найти AB, зная AC и CD (или AD и BD).

Пусть AC = 4x и CD = 3x, где x - некоторая положительная константа.

Тогда мы можем записать:

4/3 = 4x/3x

Упрощая это уравнение, получаем:

4/3 = 4/3

Таким образом, наше предположение о значении x верно.

Теперь мы можем найти значения AC и CD:

AC = 4x = 4 * (4/3) = 16/3 CD = 3x = 3 * (4/3) = 4

Также заметим, что AD = AC + CD = 16/3 + 4 = 28/3 и BD = AD - AB = 28/3 - AB

Мы знаем, что AF/BF = AD/BD, поэтому:

20/15 = (28/3) / (28/3 - AB)

Упрощая это уравнение, получаем:

4/3 = 1 / (1 - AB/(28/3))

Умножим обе части на (1 - AB/(28/3)):

4/3 * (1 - AB/(28/3)) = 1

Раскроем скобки:

4/3 - 4/3 * AB/(28/3) = 1

Упростим:

4/3 - 4 * AB/28 = 1

Перенесём 4/3 на правую сторону:

-4 * AB/28 = 1 - 4/3

-4 * AB/28 = (3 - 4)/3

-4 * AB/28 = -1/3

Умножим обе стороны на 28:

-4 * AB = -1/3 * 28

-4 * AB = -28/3

AB = (-28/3) / -4

AB = 7

Таким образом, длина боковой стороны AB равна 7.