Question

Найти решение у(х) дифференциального уравнения у^'=cos⁡x, удовлетворяющее условию у (0) = 1

Answer 1

Дано уравнение:

$y' = \cos(x) , \: y(0) = 1$

Решим сначала само уравнение, а потом подставим значение чтобы найти константу:

$\frac{dy}{dx} = \cos(x) \\ dy = \cos(x) dx \\ \int dy = \int \cos(x) dx \\ y = \sin(x) + c_{1}$

Подставляем значение у(0) = 1:

$y(0) = \sin(0) + c_{1} \\ 0 + c_{1} = 1 \\ c_{1} = 1$

Ответ:

$y = \sin(x) + 1$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

у' = cos(x),

с начальным условием:

у(0) = 1.

Для решения данного уравнения мы можем проинтегрировать обе стороны:

∫(1/у) dy = ∫cos(x) dx.

Интегрируя левую сторону, получим:

ln|у| = ∫cos(x) dx + C₁,

где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь найдем интеграл ∫cos(x) dx:

∫cos(x) dx = sin(x) + C₂,

где C₂ - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Подставим это обратно в уравнение:

ln|у| = sin(x) + C₂ + C₁.

Объединим произвольные постоянные в одну, назовем ее C:

ln|у| = sin(x) + C.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|у| = e^(sin(x) + C).

Поскольку мы ищем решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1, то можем опустить модуль:

у = e^(sin(x) + C).

Используя начальное условие, найдем C:

1 = e^(sin(0) + C),

1 = e^(0 + C),

1 = e^C.

Таким образом, C = 0.

Итак, решение дифференциального уравнения с начальным условием у(0) = 1:

у = e^(sin(x)).

Проверим, что это решение удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и начальному условию:

у' = d/dx(e^(sin(x))) = cos(x) * e^(sin(x)),

у(0) = e^(sin(0)) = e^0 = 1.

Видно, что полученное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению и начальному условию.