Question

Обчисліть площу фігури обмежену графіками функції y=2x-1 і y=(x-2)^2

Answer 1

Відповідь:

S=интеграл a_b((4+ x - (2 + x²))dx) =интеграл((2+ x - x²)dx) =

(2x +x²/2  -x³/3) a_b .

знаходим пределы интегрирования  a  и b.

( точки пересечения графиков функций  парабола и прямая линия ) 

x² + 2 =4  +x;

x² - x -2 = 0;

x₁ = -1 ;

x₂  = 2 .

a = x₁ = -1 ;

b =x₂  = 2 .

S = (2x +x²/2  -x³/3) a_b  =(2*2+2²/2 -2³/3) - (2*(-1) + (-1)²/2 - (-1)³/3) = 4,5.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої графіками функцій y = 2x - 1 і y = (x - 2)^2, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл площі між цими функціями.

1. Знайдемо точки перетину обох функцій: При рівності y = 2x - 1 і y = (x - 2)^2 отримуємо: 2x - 1 = (x - 2)^2 Розкриваємо квадрат та спрощуємо: 2x - 1 = x^2 - 4x + 4 x^2 - 6x + 5 = 0 Розв'язуючи це квадратне рівняння, отримуємо два корені: x = 1 і x = 5.

2. Знайдемо відповідні значення y для цих коренів: Для x = 1: y = 2(1) - 1 = 1 Для x = 5: y = (5 - 2)^2 = 9

3. Зараз ми знаємо, що точки перетину це (1, 1) та (5, 9).

4. Знайдемо інтеграл площі між цими функціями від x = 1 до x = 5: Площа = ∫[1, 5] [(2x - 1) - (x - 2)^2] dx

   Розкриваємо дужки та спрощуємо: Площа = ∫[1, 5] (2x - 1 - x^2 + 4x - 4) dx = ∫[1, 5] (6x - x^2 - 5) dx

   Обчислюємо інтеграл: Площа = [3x^2 - (x^3 / 3) - 5x] [1, 5] = [(3 * 5^2 - (5^3 / 3) - 5 * 5) - (3 * 1^2 - (1^3 / 3) - 5 * 1)] = [75 - (125 / 3) - 25 - (3 - (1 / 3) - 5)] = [75 - 41.6667 - 25 - 3 + 0.3333 - 5] = 0.6666 (приблизно)

Таким чином, площа фігури обмеженої графіками функцій y = 2x - 1 і y = (x - 2)^2 приблизно дорівнює 0.6666 одиницям квадратним.