Question

Помогите с дифурами. xy''+y'-x=0

Answer 1

Ответ:

xy''+y'-x=0

xy''(х)+y'(х)-x=0

xy''(х)+y'(х)=х

y'(х)=х(1-y''(х))

у(х)=$c_{1} log(x)+c_{2} +\frac{x^{2} }{4}$

Ответ: у(х)=$c_{1} log(x)+c_{2} +\frac{x^{2} }{4}$

Answer 2

Ответ:xy' - y = 0

x·(dy/dx) = y

Умножим обе части уравнения на dx/yx

dy/y = dx/x

интегрируем обе части

ln|y| = ln|x| + lnC

Экспоненцируем

e^(lny) = e^(lnx+lnC)

|y| = C|x| ⇔ y = Cx

Проверка

y' = C

Подставим в исходное дифференциальное уравнение

xy' - y = x·C - (Cx) = 0

Ответ: y = Cx

Пошаговое объяснение:♡

Answer 3

Конечно, я помогу вам решить данное дифференциальное уравнение второго порядка. У вас есть линейное неоднородное уравнение:

$xy'' + y' - x = 0.$

Давайте начнем с поиска общего решения. Для начала представим, что $y$ может быть представлена в виде степенного ряда:

$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.$

Подставим это в уравнение и найдем производные:

$y' = \sum_{n=0}^{\infty} a_n n x^{n-1},$ $y'' = \sum_{n=0}^{\infty} a_n n (n-1) x^{n-2}.$

Теперь подставим все это в исходное уравнение:

$x \sum_{n=0}^{\infty} a_n n (n-1) x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n n x^{n-1} - x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0.$

Давайте упростим выражение:

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n n (n-1) x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n n x^n - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} = 0.$

Теперь объединим ряды:

$\sum_{n=0}^{\infty} (a_n n (n-1) + a_n n - a_n) x^n = 0.$

Факторизуем $a_n$ и $n$:

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (n^2 - 1) x^n = 0.$

Так как это должно быть верно для любого $x$, коэффициенты при $x^n$ должны быть равны нулю:

$a_n (n^2 - 1) = 0.$

Отсюда получаем два случая:

1. $a_n = 0$, что означает, что член $x^n$ отсутствует в решении.
2. $n^2 - 1 = 0$, что приводит к $n = \pm 1$.

Таким образом, общее решение будет иметь вид:

$y(x) = C_1 x + C_2 \frac{1}{x},$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.