Question

Знайти найбільше і найменше значення функції f(x)=x^4-8x^2+5 на відрізку[-3;2] Срочно до вечора пліз...​

Answer 1

y = x4 – 8x2 + 5

1. Найдем точки экстремума функции, т.е. точки, в которых y’ = 0:

y’ = (x4 – 8x2 + 5)’ = 4x3 – 16x.

4x3 – 16x = 0;

4х (х2 – 4) = 0;

4х (х – 2) (х + 2) = 0;

х1 = 0;

х2 = -2;

х3 = 2.

2. Промежутку [-3; 2] принадлежат все найденные точки, поэтому рассмотрим значение функции на концах отрезка и в точках экстремума.

При х = -3, у = 81 – 72 + 5 = 14.

При х = -2, у = 16 – 32 + 5 = -11.

При х = -0, у = 5.

При х = 2, у = 16 – 32 + 5 = -11.

Таким образом, yнаим = у(-2) = у(2) = -11, yнаиб = у(-3) = 14.

Ответ: yнаим = -11, yнаиб = 14.

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції на заданому відрізку потрібно спершу знайти критичні точки (де похідна дорівнює нулю або не існує) та крайні точки відрізку, а потім обчислити значення функції у цих точках.

1. Знайдемо похідну функції: f(x) = x^4 - 8x^2 + 5 f'(x) = 4x^3 - 16x

2. Знайдемо критичні точки, де похідна дорівнює нулю: 4x^3 - 16x = 0 4x(x^2 - 4) = 0 x = 0 (дублююча точка) або x = -2 або x = 2

3. Знайдемо значення функції в критичних точках: f(0) = 0^4 - 8 * 0^2 + 5 = 5 f(-2) = (-2)^4 - 8 * (-2)^2 + 5 = 36 + 32 + 5 = 73 f(2) = 2^4 - 8 * 2^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11

4. Знайдемо значення функції на краях відрізку [-3, 2]: f(-3) = (-3)^4 - 8 * (-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 f(2) (вже обчислено) = -11

Отже, найменше значення функції на відрізку [-3, 2] дорівнює -11 (досягається в точці x = 2), а найбільше значення дорівнює 73 (досягається в точці x = -2).