Question

Найти площу фігури обмежаної лініями y=x^2-x, y=1-x

Answer 1

Відповідь:площа 3

Покрокове пояснення:

Answer 2

Щоб знайти площу обмеженої фігури між кривими y = x^2 - x та y = 1 - x, спочатку треба знайти точки їх перетину. Це можна зробити, прирівнявши їх вирази:

x^2 - x = 1 - x.

При спрощенні виразу отримаємо:

x^2 = 1.

Таким чином, маємо дві точки перетину: x = -1 та x = 1.

Тепер треба знайти відповідні значення y для кожної з цих точок, підставивши їх в відповідні рівняння кривих:

Для x = -1: y = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2.

Для x = 1: y = 1 - 1 = 0.

Таким чином, ми маємо точки перетину: (-1, 2) та (1, 0).

Тепер ми можемо зобразити ці криві та область між ними на графіку:

Площа фігури обмежена цими двома кривими може бути знайдена як різниця площ під кривими:

Площа = ∫(від -1 до 1) (x^2 - x - (1 - x)) dx.

Здійснимо обчислення:

Площа = ∫(від -1 до 1) (x^2 - x - 1 + x) dx = ∫(від -1 до 1) (x^2 - 1) dx.

Проведемо інтегрування:

Площа = [(x^3)/3 - x] від -1 до 1 = [(1/3) - 1 - ((-1)^3/3 - (-1))] = [1/3 - 1 - (-1/3 - 1)] = [1/3 - 1 + 1/3 + 1] = 2/3.

Отже, площа фігури обмеженої кривими y = x^2 - x та y = 1 - x дорівнює 2/3 квадратних одиниць.