Question

Знайти f(x)=x^2+2x-2 проміжки зростання і спадання функції та точки екстремуму

Answer 1

Как то так! Надеюсь помогла!

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції, а також точки екстремуму функції f(x) = x^2 + 2x - 2, спочатку знайдемо похідну цієї функції і визначимо її поведінку.

Похідна функції f(x) дорівнює:

f'(x) = 2x + 2.

Тепер розв'яжемо рівняння f'(x) = 0, щоб знайти точки, в яких похідна дорівнює нулю:

2x + 2 = 0.

Віднімаємо 2 з обох боків:

2x = -2.

Ділимо на 2:

x = -1.

Таким чином, точка x = -1 є потенційною точкою екстремуму функції.

Тепер аналізуємо знак похідної, щоб знайти проміжки зростання і спадання функції.

Якщо f'(x) > 0, то функція f(x) зростає. Якщо f'(x) < 0, то функція f(x) спадає.

Підставляємо деякі значення x у похідну f'(x) = 2x + 2 і аналізуємо знак:

1. При x < -1: f'(-2) = 2(-2) + 2 = -2 < 0. Функція спадає на цьому проміжку.

2. При x > -1: f'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0. Функція зростає на цьому проміжку.

Таким чином, функція f(x) = x^2 + 2x - 2 спадає на проміжку (-∞, -1) і зростає на проміжку (-1, +∞).

Щодо точок екстремуму: Точка x = -1 є потенційною точкою екстремуму функції f(x). Щоб визначити, чи є ця точка мінімумом або максимумом, можемо проаналізувати знак другої похідної.

Друга похідна f''(x) функції f(x) дорівнює:

f''(x) = 2.

Оскільки друга похідна є стала, а значить, не залежить від x, то це означає, що точка x = -1 є мінімумом функції f(x).

Отже, функція f(x) = x^2 + 2x - 2 має проміжок спадання на (-∞, -1), проміжок зростання на (-1, +∞) і мінімум у точці x = -1.