Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13;2), B(15;4), C(13;6) и D(11;4).

Answer 1

Ответ:

Стороны:

AB= \sqrt{(21-15)^2+(6-2)^2}= \sqrt{36+16}=   \sqrt{52}= 2 \sqrt{13} \\ BC= \sqrt{(19-21)^2+(9-6)^2}= \sqrt{4+9}= \sqrt{13} \\
CD= \sqrt{(13-19)^2+(5-9)^2}= \sqrt{36+16}=  \sqrt{52}= 2 \sqrt{13} \\
AD= \sqrt{(13-15)^2+(5-2)^2}= \sqrt{4+9}= \sqrt{13}

AB = CD и BC = AD  ⇒ ABCD - параллелограмм

Диагонали:

AC= \sqrt{(19-15)^2+(9-2)^2}= \sqrt{16+49}= \sqrt{65} \\
BD= \sqrt{(13-21)^2+(5-6)^2}= \sqrt{64+1}= \sqrt{65}

AC = BD  ⇒ ABCD -  прямоугольник

Площадь:

S=2 \sqrt{13} *\sqrt{13} =2*13 = 26

Пошаговое объяснение:

сори , сайт изменяет знаки , но ели не понятно лови фото моего решения

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы можем воспользоваться свойством диагоналей прямоугольника. Прямоугольник имеет равные по длине диагонали, а их пересечение происходит в точке, которая является центром прямоугольника (по теореме о средних линиях). Также, диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом.

Давайте проверим, выполняются ли эти условия для данного четырёхугольника ABCD.

Для начала, давайте вычислим координаты середины диагонали AC:

Середина AC:
x = (13 + 13) / 2 = 13
y = (2 + 6) / 2 = 4

Середина BD:
x = (15 + 11) / 2 = 13
y = (4 + 4) / 2 = 4

Как мы видим, координаты середин диагоналей AC и BD совпадают и равны (13, 4), что указывает на то, что диагонали пересекаются в одной точке, а именно, в точке D(13, 4).

Также, давайте вычислим угловые коэффициенты для отрезков AB и CD:

Угловой коэффициент AB:
m_AB = (4 - 2) / (15 - 13) = 2/2 = 1

Угловой коэффициент CD:
m_CD = (6 - 4) / (13 - 11) = 2/2 = 1

Видим, что угловые коэффициенты для отрезков AB и CD равны 1, что означает, что они параллельны одной из координатных осей, и следовательно, перпендикулярны между собой.

Таким образом, четырёхугольник ABCD удовлетворяет свойствам прямоугольника: диагонали равны по длине и пересекаются в точке под прямым углом. Следовательно, ABCD - это прямоугольник.

Теперь давайте найдем площадь прямоугольника ABCD. Площадь прямоугольника можно найти как произведение длины одной из сторон на длину другой стороны:

Длина AB = √((15 - 13)^2 + (4 - 2)^2) = √(2^2 + 2^2) = √8 Длина BC = √((13 - 13)^2 + (6 - 4)^2) = √(0^2 + 2^2) = 2

Площадь прямоугольника ABCD = Длина AB * Длина BC = √8 * 2 = 2√8.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD составляет 2√8 или примерно 5.66 квадратных единиц.