Question

Помогите!!! Розв‘язати систему рівнянь усіма можливими спомобами х+у=8, х-у=-2

Answer 1

х+у=8

х-у=-2

способ сложения

х+у=8

х-у=-2 сложим

2х=6

х=3        у=8-х=5

(3;5)

способ подстановки

из первого уравнения х=8-у, подставим во второе

8-у-у=-2

-2у=-10

у=5       х=8-5=3

(3;5)

Answer 2

Звісно, я допоможу вам розв'язати цю систему рівнянь. Ви можете вирішити її за допомогою методів підстановки, елімінації або застосування матричних операцій.

1. Метод підстановки: Спочатку виразимо одну змінну з одного з рівнянь і підставимо це значення в інше рівняння.

   З першого рівняння: $x = 8 - y$

   Підставляючи це у друге рівняння: $8 - y - y = -2$

   Скорочуємо: $8 - 2y = -2$

   Віднімаємо 8 з обох боків: $-2y = -10$

   Ділимо на -2: $y = 5$

   Тепер підставимо значення y у вираз для x з першого рівняння: $x = 8 - 5 = 3$

   Отже, розв'язок цієї системи: $x = 3$, $y = 5$.

2. Метод елімінації: Додамо два рівняння разом, щоб вилучити змінну $y$:

   $(х + у) + (х - у) = 8 + (-2)$

   Скорочуємо: $2x = 6$

   Ділимо на 2: $x = 3$

   Тепер підставимо значення $x$ у будь-яке з рівнянь, щоб знайти $y$. Наприклад, в перше рівняння:

   $3 + y = 8$

   $y = 8 - 3$

   $y = 5$

   Результат: $x = 3$, $y = 5$.

3. Матричний метод: Систему можна представити у матричному вигляді $AX = B$, де $A$ - матриця коефіцієнтів, $X$ - матриця змінних, а $B$ - матриця вільних членів.

   $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 8 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$$

   Щоб знайти $X$, використовуйте формулу $X = A^{-1}B$, де $A^{-1}$ - обернена матриця до $A$. Обчислення показують, що $A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.

   Перемноживши $A^{-1}$ на $B$, ми отримаємо $X$:

   $$X = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \\ -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$$

   Отже, $x = 3$, $y = 5$.

У всіх трьох методах отримано однаковий результат: $x = 3$, $y = 5$.