Question

При яких значеннях x кут між векторами а(3;0;4) b(2;x;1) дорівнює 45 градусів?

Answer 1

1)|a| = √3²+0²+4² = √25 = 5

|b| = √2²+x²+1² = √(x²+5)

2)a•b = |a|•|b|•cos45°

3•2+0•x+4•1 = 5/√2 √(x²+5)

5/√2 √(x²+5) = 10|•√2/5

√(x²+5) = 2✓2

√(x²+5) = √8

x²+5 = 8

x² = 3

x = ±√3

Answer 2

Для знаходження значення x, при якому кут між векторами а(3;0;4) та b(2;x;1) дорівнює 45 градусів, ми можемо використовувати властивості скалярного добутку векторів та їхньої косинусної формули.

Спершу, давайте обчислимо скалярний добуток векторів a та b:

a * b = |a| * |b| * cos(θ),

де |a| - довжина вектора a, |b| - довжина вектора b, а θ - кут між ними.

Довжина вектора a: |a| = √(3^2 + 0^2 + 4^2) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5.

Довжина вектора b: |b| = √(2^2 + x^2 + 1^2) = √(4 + x^2 + 1) = √(x^2 + 5).

Тепер ми можемо записати рівняння для скалярного добутку та кута:

a * b = |a| * |b| * cos(45°).

Замінюючи відомі значення:

(3 * 2 + 0 * x + 4 * 1) = 5 * √(x^2 + 5) * (1/√2).

6 + 4 = 5 * √(x^2 + 5) * (1/√2).

10 = 5 * √(x^2 + 5) * (1/√2).

Знімаючи множники та ділячи на 5:

2 = √(x^2 + 5) * (1/√2).

Зведення до квадрату:

4 = x^2 + 5.

x^2 = -1.

Це рівняння не має розв'язків в дійсних числах. Тобто, немає такого значення x, при якому кут між векторами a та b буде дорівнювати 45 градусів.