Question

Найти общее решение дифференциального уравненияy''+2y'=6e^x*(sinx+cosx)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y'' +2y' = 3ex(cos(x)+sin(x))

Решение уравнения будем искать в виде y = erx с помощью калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2 +2 r + 0 = 0

D = 22 - 4 • 1 • 0 = 4

Корни характеристического уравнения:

r1 = 0

r2 = -2

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:

f(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 1, β = 1.

Следовательно, число α + βi = 1 + 1i не является корнем характеристического уравнения .

Уравнение имеет частное решение вида:

y* = ex(Acos(x) + Bsin(x))

Вычисляем производные:

y' = ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))

y'' = 2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' = (2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))) + 2(ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))

или

-4•A•ex•sin(x)+2•A•ex•cos(x)+2•B•ex•sin(x)+4•B•ex•cos(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

-4A + 2B = 3

2A + 4B = 3

Решая ее методом обратной матрицы, находим:

A = -3/10;B = 9/10;

Частное решение имеет вид:

y* = ex(-3/10cos(x) + 9/10sin(x))

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Answer 2

Ответ:

Посмотрите предложенное решение, оформление не соблюдалось.

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения сначала найдем частное решение, а затем найдем общее решение, включающее в себя общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Дифференциальное уравнение однородное, когда правая часть равна нулю. Для уравнения y'' + 2y' = 0 найдем его характеристическое уравнение:

r^2 + 2r = 0

Факторизуем его:

r(r + 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: r = 0 и r = -2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C1 * e^0x + C2 * e^(-2x)

Упрощая выражение, получаем:

y_h = C1 + C2 * e^(-2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Частное решение

Мы ищем частное решение вида y_p = A * e^x * (sin(x) + cos(x)), где A - константа.

Подставим это выражение в исходное дифференциальное уравнение:

y_p'' + 2y_p' = 6e^x * (sin(x) + cos(x))

Проведя необходимые дифференцирования и упрощения, получим:

(A - 4A) * e^x * (sin(x) + cos(x)) = 6e^x * (sin(x) + cos(x))

-3A * e^x * (sin(x) + cos(x)) = 6e^x * (sin(x) + cos(x))

Таким образом, получаем A = -2.

Частное решение:

y_p = -2 * e^x * (sin(x) + cos(x))

Шаг 3: Общее решение

Общее решение дифференциального уравнения:

y = y_h + y_p

y = C1 + C2 * e^(-2x) - 2 * e^x * (sin(x) + cos(x))

где C1 и C2 - произвольные постоянные.