Question

Прямоугольный треугольник вращается вокруг катета равного 5 см. Вычислить объем фигуры вращения, если гипотенуза треугольника 6см

Answer 1

Полученное тело вращения — конус (смотрите фото в приложении).

Найдём радиус основания конуса по теореме Пифагора —

АВ² + ВС² = АС²

ВС² = АС² - АВ²

ВС² = (6 см)² - (5 см)²

ВС² = 36 см² - 25 см²

ВС² = 11 см²

ВС = √11 см.

[Объём конуса равен одной трети произведения площади основания конуса и её высоты].

То есть —

V(конуса) = ⅓*АВ*ВС²*π

V(конуса) = ⅓*5 см*(√11 см)²*π

V(конуса) = ⅓*5 см*11 см²*π

V(конуса) = (55/3 см³)*π.

Ответ:

(55/3 см³)*π.

Answer 2

Чтобы вычислить объем фигуры вращения, образованной вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, можно воспользоваться методом цилиндра с пустотой (методом образующей).

В данном случае, треугольник вращается вокруг катета длиной 5 см, что означает, что образуется цилиндр радиусом 5 см и высотой равной гипотенузе треугольника (6 см).

Объем цилиндра можно вычислить по формуле: $V = \pi \times r^2 \times h$, где $r$ - радиус цилиндра, $h$ - высота цилиндра.

В данном случае: $r = 5$ см, $h = 6$ см.

Подставляем значения в формулу: $V = \pi \times (5 \, \text{см})^2 \times 6 \, \text{см}$

Вычисляем: $V = \pi \times 25 \, \text{см}^2 \times 6 \, \text{см} \approx 471 \, \text{см}^3$.

Итак, объем фигуры вращения составляет примерно 471 кубический сантиметр.