Question

При яких значеннях а площа фігури обмеженої лініями y=x^2, y=0, x=a, дорівнює 9

Answer 1

$\displaystyle\\S=\int\limits^a_0 {x^2} \, dx \\\\\int\limits^a_0 {x^2} \, dx=\frac{x^3}{3}\mid^a_0=\frac{a^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{a^3}{3}\\\\ S=\frac{a^3}{3}\Rightarrow 9=\frac{a^3}{3}\Rightarrow a=3$

При a=3, площадь фигуры будет 9, но так же, так как функция x² симметричная относительно Oy , то может быть $a=-3$.

В первом случае у нас будет интеграл от 0 до 3, а во втором от -3 до 0, в обоих случаях площадь фигуры будет 9.

Answer 2

Для знаходження значення "а", при якому площа фігури обмеженої лініями y = x^2, y = 0 та x = a дорівнює 9, спершу ми повинні знайти точки перетину цих ліній.

Лінії y = x^2 та y = 0 перетинаються при x = 0 та x = a.

Формула для обчислення площі під кривою y = x^2 на відрізку [c, d] є інтегралом від c до d з функції x^2, тобто ∫[c, d] x^2 dx. У нашому випадку ми маємо обмеження від 0 до a, тобто площу можна обчислити як ∫[0, a] x^2 dx.

Площа фігури дорівнює 9, тобто:

∫[0, a] x^2 dx = 9.

Знайдемо інтеграл ∫[0, a] x^2 dx та розв'яжемо рівняння щодо "а":

∫[0, a] x^2 dx = (1/3) * x^3 |[0, a] = (1/3) * a^3.

Отже, ми маємо рівняння:

(1/3) * a^3 = 9.

Множимо обидві сторони на 3:

a^3 = 27.

Беремо кубічний корінь обох сторін:

a = 3.

Таким чином, при a = 3 площа фігури обмеженої лініями y = x^2, y = 0 та x = a дорівнює 9.