Question

Найдите промежутки убывания функции y= (1/3x^3) -x

Answer 1

Ответ:

x ∈ (-1; 1)

Пошаговое объяснение:

берем производную от функции y = (1/3x^3) - x

y' = x² – 1

функция убывает при y' < 0 , решаем

x² – 1 < 0  

проще всего графически. см. рис.

точки для построения: (-2; 3), (-1; 0), (0; -1), (1;0), (2; 3)

/ жирным выделены точные нули  y' = x² – 1 /

x² – 1 < 0 при х ∈ (-1; 1)

прим.: точные значения нулей для  x² – 1 < 0 будут: х = -1, х = 1 ,

при желании можно решить уравнение x² – 1 = 0

Answer 2

Для найти промежутки убывания функции y = (1/3)x^3 - x, нужно определить интервалы значений x, на которых функция убывает. Для этого нужно найти значения x, при которых производная функции отрицательна.

Сначала найдем производную функции y по x:

y = (1/3)x^3 - x y' = x^2 - 1

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±1

Теперь мы знаем, что производная обращается в ноль при x = -1 и x = 1. Давайте проверим знаки производной в интервалах между и вне этих точек:

1. Когда x < -1: Подставим x = -2 (например): y' = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 Так как производная положительна на этом интервале, функция y увеличивается при уменьшении x.

2. Когда -1 < x < 1: Подставим x = 0 (например): y' = 0^2 - 1 = -1 Производная отрицательна на этом интервале, поэтому функция y убывает при увеличении x.

3. Когда x > 1: Подставим x = 2 (например): y' = 2^2 - 1 = 3 Производная снова положительна на этом интервале, следовательно, функция y увеличивается при увеличении x.

Итак, промежутки убывания функции y = (1/3)x^3 - x находятся в интервале -1 < x < 1.