Question

Помогите решить пожалуйста: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = - x^2 + 3x, y = 0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y=-x^2+3x;y=0\\-x^2+3x=0|:(-1)\\x^2-3x=0\\x*(x-3)=0\\x_1=0;x_2=3.\\S=\int\limits^3_0 {(-x^2+3x-0)} \, dx=\int\limits^3_0 {(-x^2+3x)} \, dx =-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}|_0^3=\\ =-\frac{3^3}{3} +\frac{3*3^2}{2} -(-\frac{0^3}{3}+\frac{3*0^2}{2} } )=-9+\frac{27}{2}= -9+13,5-0=4,5.$

Ответ: S=4,5 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем найти определенный интеграл от функции, которая представляет разницу между этими двумя линиями.

Для начала, найдем точки пересечения двух функций y = -x^2 + 3x и y = 0:

• Первая функция y = -x^2 + 3x
• Вторая функция y = 0

Чтобы найти точки пересечения, приравняем две функции друг к другу:

-x^2 + 3x = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

x(-x + 3) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 3.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти x в первую функцию:

Для x = 0: y = -0^2 + 3 * 0 = 0 Для x = 3: y = -3^2 + 3 * 3 = 0

Итак, точки пересечения: (0, 0) и (3, 0).

Теперь, чтобы найти площадь между графиком функции y = -x^2 + 3x и осью x на интервале [0, 3], мы можем использовать определенный интеграл:

Площадь = ∫[0, 3] (-x^2 + 3x) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [-(x^3)/3 + (3x^2)/2] |[0, 3] Площадь = [-(3^3)/3 + (3 * 3^2)/2] - [-(0^3)/3 + (3 * 0^2)/2] Площадь = [-27/3 + 27/2] - [0] Площадь = -9 + 13.5 Площадь = 4.5

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 3x и y = 0 на интервале [0, 3], равна 4.5 квадратных единиц.