Question

Точка К лежит на стороне ВС треугольника АВС.Известно, что СК=4 см, КВ=5 см, угол С=30°, угол САК=угол В.Найдите площадь треугольника АСК. ​

Answer 1

Дано:

ΔABC,

K ∈ BC, CK = 4 (см), KB = 5 (см),

∠C = 30°, ∠CAK = ∠B.

Найти:

S ΔACK = ? (см²).

Решение:

△АВС и △АСК подобны, так как ∠САК = ∠В и ∠С - общий.

=> справедлива пропорция:

СК/АС = АС/СВ

АС² = СК * СВ

СВ = СК + КВ = 4 + 5 = 9 см

АС² = 4 * 9 = 36 см

АС = 6 см

S△АСК = 1/2 * АС * СК * sin 30˚ = 6/2 * 4/2 = 6 см²

Ответ: 6 см²

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы синусов и косинусов. Давайте обозначим угол ВАК как α.

Известно, что угол С = 30°, поэтому угол В = 180° - 30° - угол САК = 150° - α.

По закону синусов для треугольника АВС: $\frac{СК}{\sin(САК)} = \frac{АК}{\sin(С)}$ $\frac{4}{\sin(α)} = \frac{АК}{\sin(30°)}$ $АК = 4 \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(α)}$

А также по закону синусов для треугольника АКВ: $\frac{КВ}{\sin(САК)} = \frac{АК}{\sin(В)}$ $5 = \frac{АК}{\sin(150° - α)}$

Теперь мы можем объединить оба уравнения и решить относительно АК: $4 \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(α)} = 5 \cdot \frac{1}{\sin(150° - α)}$ $\frac{\sin(30°)}{\sin(α)} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{\sin(150° - α)}$ $\frac{\sin(30°)}{\sin(α)} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{\sin(α)}$

Теперь можем найти значение синуса угла α: $\sin(30°) = \frac{5}{4} \cdot \sin(α)$ $\sin(α) = \frac{4}{5} \cdot \sin(30°)$ $\sin(α) = \frac{2}{5}$

Следовательно, угол α = arcsin(2/5).

Теперь мы можем найти длину стороны АК: $АК = 4 \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(α)} = 4 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}} = 5$

Теперь, чтобы найти площадь треугольника АСК, мы можем использовать формулу для площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$S = \sqrt{s \cdot (s - АС) \cdot (s - АК) \cdot (s - CK)}$

где $s$ - полупериметр треугольника, $АС = CK = 4$ (по условию), $АК = 5$, и $s = \frac{4 + 4 + 5}{2} = 6.5$.

Подставляя значения: $S = \sqrt{6.5 \cdot (6.5 - 4) \cdot (6.5 - 5) \cdot (6.5 - 4)}$ $S = \sqrt{6.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5 \cdot 2.5}$ $S = \sqrt{45.9375}$ $S \approx 6.78 \, \text{см}^2$

Итак, площадь треугольника АСК составляет примерно $6.78 \, \text{см}^2$.