Question

Дано функцію y=x^4-6x^2+1. Знайдіть найбільше та найменше значення її похідної на проміжку [-1;3]

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции на промежутке [-1; 3] будет в точке x = 0, а наименьшее в точке x = 1,75

Пошаговое объяснение:

y = x^4 - 6 x^2 + 1

Найдём производную:

y' = 4 x^3 - 12 x + 0

y' = 4 x^3 - 12 x

y' = 4 x (x^2 - 3)

Найдём промежутки возрастания/убывания функции:

y' = 0

4 x (x^2 - 3) = 0

x^2 - 3 = 0 и x = 0

x^2 = 3

x1 = sqrt (3)

x2 = - sqrt (3)

Построив числовую ось получим, что функция возрастает на промежутках (-Б; - sqrt (3)) и (sqrt (3); +Б). А убывает на промежутке (- sqrt (3); sqrt (3)).

Значит, наибольшее значение функции на промежутке [-1; 3] будет в точке x = 0, а наименьшее в точке x = 1,75

Answer 2

Спочатку знайдемо похідну від заданої функції y = x^4 - 6x^2 + 1.

y = x^4 - 6x^2 + 1 y' = 4x^3 - 12x

Тепер знаємо похідну, і ми можемо знайти критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує. Щоб знайти ці точки, рівняємо похідну нулю:

4x^3 - 12x = 0 4x(x^2 - 3) = 0

Отримуємо дві можливі значення x: x = 0 та x = ±√3.

Тепер перевіримо значення похідної на кінцях і в критичних точках відрізка [-1; 3].

1. Підставляємо x = -1: y'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1) = -4 + 12 = 8.

2. Підставляємо x = 0: y'(0) = 4(0)^3 - 12(0) = 0.

3. Підставляємо x = √3: y'(√3) = 4(√3)^3 - 12(√3) = 4√3(3) - 12√3 = 12√3 - 12√3 = 0.

4. Підставляємо x = -√3: y'(-√3) = 4(-√3)^3 - 12(-√3) = -4√3(3) + 12√3 = -12√3 + 12√3 = 0.

Отже, найбільше і найменше значення похідної на проміжку [-1; 3] дорівнюють 8 та 0 відповідно.