Question

Найдите промежутки убывания функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 240x

Answer 1

Ответ:

Функция убывает  на [- 5; 8]

Пошаговое объяснение:

$f(x)=2x^{3} -9x^{2} -240x;\\D(f)=R$

Найдем производную функции.

$f'(x)=2\cdot3x^{2} -9\cdot2x-240=6x^{2} -18x-240$.

Найдем критические точки, решив уравнение:

$f'(x)=0;\\6x^{2} -18x-240=0|:6;\\x^{2} -3x-40=0;\\D=(-3)^{2} -4\cdot1\clot(-40)=9+160=169=13^{2} \\\\x{_1}=\dfrac{3-13}{2} =\dfrac{-10}{2} =- 5;\\\\\\x{_2}=\dfrac{3+13}{2} =\dfrac{16}{2}=8$

Определим знак производной.

Функция убывает, если ее производная отрицательна. Так как функция непрерывна, то она убывает на [- 5; 8]

Answer 2

Для найти промежутки убывания функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 240x$, нужно найти интервалы, на которых производная функции отрицательна.

1. Найдем производную функции $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^3 - 9x^2 - 240x) = 6x^2 - 18x - 240.$

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует: $6x^2 - 18x - 240 = 0.$

Мы можем разделить это уравнение на 6: $x^2 - 3x - 40 = 0$, и затем решить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 40 = (x - 8)(x + 5) = 0.$

Отсюда получаем две критические точки: $x = 8$ и $x = -5$.

3. Теперь мы можем построить таблицу знаков производной, используя критические точки:

$$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -5 & 8 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & + \end{array}$$

Где "-" означает отрицательное значение, "0" - ноль, "+" - положительное значение.

Из таблицы видно, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при $x = -5$, и с положительного на отрицательный при $x = 8$. То есть, функция убывает на интервале $(- \infty, -5)$ и интервале $(8, +\infty)$.

Итак, промежутки убывания функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 240x$ это $(- \infty, -5)$ и $(8, +\infty)$.