Question

Привести три примера вычисления площадей криволинейных фигур через интеграл (два с криволинейной трапецией, третий – с фигурой, не являющейся криволинейной трапецией)

Answer 1

$1)\ \ y=x^2+1\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ x=1\\\\S=\int\limits^1_0\, (x^2+1)\, dx=\Big(\dfrac{x^3}{3}+x\Big)\Big|_0^1=\dfrac{1}{3}+1=1\dfrac{1}{3}\\\\\\2)\ \ y=x^3\ \ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ x=1\\\\S=\int\limits^1_0\, x^3\, dx=\dfrac{x^4}{4}\, \Big|_0^1=\dfrac{1}{4}\\\\\\3)\ \ y=x^2\ \ ,\ \ y=x\\\\x^2=x\ \ ,\ \ x(x-1)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ \ ,\ \ x_2=1\\\\S=\int\limits^1_0\, (x-x^2)\, dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$

Answer 2

Конечно! Вот три примера вычисления площадей криволинейных фигур через интеграл:

1. Криволинейная трапеция: Предположим, у нас есть кривая функция y = f(x), заданная на интервале [a, b]. Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, осью OX и двумя вертикальными прямыми x = a и x = b, мы можем использовать интеграл: S = ∫[a,b] y dx

2. Обобщенная криволинейная трапеция: Предположим, у нас есть кривая функция x = g(y), заданная на интервале [c, d]. Чтобы найти площадь обобщенной криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, осью OY и двумя горизонтальными прямыми y = c и y = d, мы также можем использовать интеграл: S = ∫[c,d] x dy

3. Некриволинейная фигура: Предположим, у нас есть кривая функция r = f(θ), заданная в полярных координатах на интервале [α, β]. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой, мы можем использовать интеграл: S = 1/2 ∫[α,β] r^2 dθ

Это всего лишь некоторые примеры вычисления площадей криволинейных фигур через интегралы. Существует множество других криволинейных фигур и методов их вычисления, в зависимости от конкретных условий и задачи.