Question

Решите 4^(x)+4^(1-x)>=5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle 4^{x} +4^{-1} *4^{x} \geq 5\\\\4^{x} (1+\frac{1}{4} } ) \geq 5\\\\\\\\\ 4^{x} \geq 5:\frac{5}{4} \\\\\\4^{x} \geq 5*\frac{4}{5} \\\\4^{x} \geq 4\\\\x\geq 1$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

$$4^x + 4^{1-x} \geq 5$$

Для начала, давайте заметим, что левая сторона неравенства состоит из двух слагаемых. Давайте попробуем разбить решение на два случая: когда $x \geq 1$ и когда $x < 1$.

Случай 1: $x \geq 1$

Если $x \geq 1$, то $4^x$ будет растущей функцией. А также $4^{1-x}$ будет убывающей функцией. Поэтому минимальное значение левой стороны неравенства будет при $x=1$:

$$4^1 + 4^{1-1} = 4 + 1 = 5$$

Значит, при $x \geq 1$ неравенство выполняется.

Случай 2: $x < 1$

Теперь рассмотрим случай, когда $x < 1$. Давайте выразим $4^{1-x}$ как $4$ в степени $x$, чтобы упростить выражение:

$$4^x + 4 \cdot 4^{-x} \geq 5$$

Теперь давайте сделаем замену переменной: пусть $t = 4^x$. Тогда неравенство примет вид:

$$t + \frac{4}{t} \geq 5$$

Умножим обе стороны на $t$, чтобы избавиться от дроби:

$$t^2 + 4 \geq 5t$$

Теперь преобразуем это уравнение в квадратное:

$$t^2 - 5t + 4 \geq 0$$

Факторизуем левую сторону:

$$(t - 4)(t - 1) \geq 0$$

Теперь найдем интервалы, где это неравенство выполняется:

1. Если $t \leq 1$, то оба множителя отрицательны, и неравенство выполняется.
2. Если $1 \leq t \leq 4$, то первый множитель положителен, а второй отрицателен, и неравенство не выполняется.
3. Если $t \geq 4$, то оба множителя положительны, и неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство выполняется при $t \leq 1$ и $t \geq 4$.

Вспоминаем, что $t = 4^x$, и заменяем обратно:

1. $4^x \leq 1$ — неравенство не выполняется, так как $4^x$ всегда положительно.
2. $4^x \geq 4$ — это неравенство выполняется при $x \geq 1$, но мы рассматриваем случай $x < 1$, поэтому это не подходит.
3. $4^x \geq 4$ — неравенство выполняется при любых положительных $x$.

Таким образом, в случае $x < 1$ неравенство выполняется только для положительных $x$.

Итак, решение неравенства $4^x + 4^{1-x} \geq 5$ состоит из двух интервалов: $x \geq 1$ и $0 < x < 1$.