Question

скорость движения тела изменяется по закону v(t)=6t^2+2t-3 найдите пройденный путь тела за 8 секунд от начала движения

Answer 1

Решение:

$t_1=0$ - это начало движения тела;

$t_2=8$ - время завершения движения тела;

То есть, чтобы найти пройденный путь тела за $8$ секунд от начала движения, нужно вычислить определённый интеграл:

$\displaystyle \int\limits^8_0 {6{t}^{2}+2t-3} \, dt =\int\limits {6{t}^{2}} \, dt +\int\limits {2t} \, dt - \int\limits {3} \, dt =(2{t}^{3}+{t}^{2}-3t)\Big|^{8}_{0}= \\ \\ = 2\cdot{8}^{3}+{8}^{2}-3\cdot8-(2\cdot0-3\cdot0)={2}^{10}+64-24-0=1088-24=\boxed{1064}$Использованные формулы:

$\displaystyle \int\limits {f(x)\pm g(x)} \, dx=\int\limits {f(x)}\, dx \pm \int\limits {g(x)} \\ \\ \int\limits^b_a{f(x)} \, dx =F(b)-F(a)$

Ответ: $\Large{\boxed{1064}}$

Answer 2

Для нахождения пройденного пути тела за определенный промежуток времени, необходимо интегрировать скорость тела по времени на этом интервале. В данном случае, у нас есть закон изменения скорости:

$v(t) = 6t^2 + 2t - 3.$

Для интегрирования этой функции по времени, получим закон изменения пути $s(t)$:

$s(t) = \int v(t) dt.$

Интегрирование скорости даёт нам путь:

$s(t) = \int (6t^2 + 2t - 3) dt = 2t^3 + t^2 - 3t + C,$

где $C$ — постоянная интегрирования. Теперь нам нужно найти значение постоянной $C$. Для этого мы используем начальное условие, что $s(0) = 0$, так как начало движения соответствует $t = 0$:

$s(0) = 2(0)^3 + (0)^2 - 3(0) + C = C = 0.$

Теперь у нас есть выражение для пути:

$s(t) = 2t^3 + t^2 - 3t.$

Для нахождения пройденного пути за 8 секунд, подставляем $t = 8$ в это выражение:

$s(8) = 2(8)^3 + (8)^2 - 3(8) = 1024 + 64 - 24 = 1064\text{ м}.$

Таким образом, пройденный путь тела за 8 секунд от начала движения составляет 1064 метра.