Question

Знайдіть проміжки монотонності функції: y = x^3-5x^2+3x-2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y' = 3x^2 - 10x + 3 = 0

D4 = 25 - 3*3 = 16 = 4^2

x = 1/3

x = 3

  +               -                 +

____1/3________3______

 /                \                   /

Возрастает: x ∈ (-беск; 1/3] U [3;+беск)

Убывает: x ∈ [1/3; 3]

Answer 2

Для знаходження проміжків монотонності функції y = x^3 - 5x^2 + 3x - 2 спершу треба знайти похідну цієї функції та визначити її знаки на різних інтервалах.

Похідна функції y = x^3 - 5x^2 + 3x - 2:

y' = 3x^2 - 10x + 3.

Тепер знайдемо значення x, де похідна дорівнює нулю:

3x^2 - 10x + 3 = 0.

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або квадратного дискримінанта. Розв'яжемо його, щоб знайти точки, де похідна дорівнює нулю:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

де a = 3, b = -10 і c = 3.

Застосуємо формулу та отримаємо дві точки, де похідна дорівнює нулю:

x = (10 + √(100 - 36)) / 6 ≈ 2.14, x = (10 - √(100 - 36)) / 6 ≈ 0.19.

Тепер розглянемо інтервали між цими точками та поза ними:

1. Інтервал (-∞, 0.19): У цьому інтервалі похідна додатня, оскільки всі коефіцієнти перед x^2, x та константою позитивні. Отже, функція зростає на цьому проміжку.

2. Інтервал (0.19, 2.14): У цьому інтервалі похідна від'ємна, тому функція спадає на цьому проміжку.

3. Інтервал (2.14, +∞): У цьому інтервалі похідна знову додатня, отже, функція зростає на цьому проміжку.

Отже, функція зростає на інтервалах (-∞, 0.19) та (2.14, +∞), а спадає на інтервалі (0.19, 2.14).